§ 20. Нахождение производных дифференцируемыхфункций

придадим приращение аргументу фуЕікцни; найдём приращение функции;

составим отношение приращения функции н гтрнращению аргумента;

устремим приращение аргумента к нулю и найдём предел этого отношения.

Ї.

Пусть у » С, тогда гри всех значениях аргумента .у —¦ О, т. е.

у(х 4 Дат) - С, а Лі/ — у{х 4- Лг) - jy(a) = 0 Значит ^ a G, и следовательно,

V' = .и™. - 0.

Ах

Производная суммы нескольких дифференцируемых функций равна сумме производных этих функции.

Рассмотрим для определённости сумму двух функций у = и і и. Тогда

&У = + - = -і- Дя) ± 4 Дт;)] — |и(д:) ± =

- [^(я 4- Д.т}- и(аг)]±[и(® 4 Да:) - t?(z)] = Аи і Ди,

Ay Аи , Аи А Л

3 Дх ~ Д~ ДЇ' н в сил^ сУДестЕОвания производных

функций и ^(х), существуют пределы

lim = Hm ± lim Ат^О Дх As~*0 Ах Ax—Q Ах

Отсюда у' = и' ± v'.

Замечание, Если у = ± ± ги(а;) і , то

у' - и'{х) ± и'(дт) ± w'(x) ± ...

Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции, т, е. если у = uv, то ут = u'v + uv'.

Пусть у = uv, тогда Ду — 4 Да;) ¦ 4 Дх) — и(ж) ¦ ; добавим и вычтем слагаемое 4- Дх) -ufa:). Имеем:

Ау - [и(х 4 Ах) -и(з:)]^(з:} + -f Да;) - 4- Де) -

= и(аг) ¦ Аи 4- Av и(х 4- Да;);

прн Дх ^ 0 ^^ = + 4- Вычисляем предел при

Ах -* 0; учитывая, что в силу диффаренцируемости функций u(ar) И г>(аг) в точке xt следует:

л\ . Ду м Лі)

]) существование предельных значении т—^ -тг, равных соответственно у', и', v'\

2) непрерывность функций и в точке х, т. Є- lim и(х 44 ДЕ) — гі(т) и Hm v(x 4- ДЕ) = г>(дг).

Замечание 1. Если у = и - v - w, то у' = (tivw)' = {uv)'w 44- (ш?)ги' = u'vw 4 uu'ur -1- гігііи'; аналогично, если у = ttiu^ ¦ -и-п, то у' = u\v,2 ¦ і?ц +¦ щи^ . ип ... 4 ЩЇІ2 ¦ • - В частности, если все гц- = = гі, то у — tift, а у1 = пь.п~1и'.

Если и — хп, то (я~ п-зс*-1, причём 5та формула верна и в случае, когда п дробное или отрицательное (см. ниже). При у = х производная yr = х' = 1,

Замечание 2', Если у — C-ttfae), где С — постоянная, то

у' — С' ^ -и(х) + С -и'(х) = 0 и(аз) + С ~ С ¦

постоянный множитель можно выносить за знак производной,

4, Производная дроби (частного от деления двух функций) рарна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и всё разделённое на

(1 V J ІАІі

У

и

кэадрат знаменателя, т.е. если у — -t то у' =

v

и

Пусти у = — t тогда

v

+ Дї) f

добавляя и вычитая в числителе слагаемое іфг) 'и(я), будем иметь

, __ u(a?)[tt(a; + Дж) — «(я)] — и[я)[у(з: + Ах) — ~~ ~ + Ах)

гїд); Ди(х) — - At?(і) ¦ ufar + Дя) '

, чДи t \Av

Ay

a = -— д^, и, учитывая, что в силу дифференцируемо^ сти Функций и в точке х существуют предельные значения

lim —— — и'(т), lim lim v(x 4- Ді) = у fa;), получим

Да: 4 " Ді-,0 Дг k ' Дй-^о ^

lim ^ =„'=^'=.2^:. ДІ^О Ах \vj ь2

Замечание 1. Если у = где С — постоянная, то

? / и V 1 ,

Q

Замечание 2. Если у —, где С — постоянная, то

У

5, Производная от sltijt есть COSRT Т. С, если у = sin Я;, то у* = СОУЯ. Пусть у — sin х, тогда

Д у — sin (а: + Ля) — siiii =5= 2 соя (^х + sin ,

sin

Ля;

Ay ^ f , Ах

) АІ/2'

„ Дгс am —

2 - І

Переходя к пределу и учитывая* что

/2

am cos г + -тг = соая, lim —г Лі—о V 2 J Д

Ау

получим Hm =cos.t. т, є. (sinя;)' = cos аг. ЛЇЧІ Ах t \ /

6, Производная от cos Я; есть — НІШ, т.Е. ЕСЛИ у — COST, TO yf = — — віпз;.

2 '

Ay = oos(x + Дя) — cos a: = —2 sin ^ar -f s'n

Д г

Sm

Ах/2 '

Ay f , Ax\

Переходя к пределу и учитывая, что

Ля; sin —

_ 2

О Ал/2

lim sin (х + ) ™ sin X, lim

Дг—0 v 2 / ізг^,

получим lim ^ — — sinя:, т.е. (cosxV — — sin.лг.

1 >

cos2 X

J Даг-tO Ах ^ 1

7, Производная от tga; есть —т, е, если у — tsxy то у' =

сое х

г-, . sins:

Пусть у — tg х — . тогда

cos х

, __ / sins V _ (sin x)f соз х - (cos a:)' sin g _ cos" аг + sin3 % V cos x J

COS1 X

cos2 X

т.е. (fcgz)' =

cos* a: . 8. Производная or ctg x есть V- > т e если у — ctg x, то у' =

sm x

COS X

— . Пусть у — ctg, x — ——, тогда

віггд sim

(cosx)' sin x. — (sirtar)' cosx _ — sin2 x — соє3 x __ 1

V —'—j" a — — — г~з—>

sin x sin x sin x

т. e. (ctgi)' -

am x

9. Производная от logtt* есть ± ІоЄд с, т.е. если f- Ь*,. то

v< = Iloe. t Пусть у - logo*. ™гдз - + - -

і

= bgft (

-V Дг—О Дз v

- і lim log.Cl + A * - і log, C, (* = ¦

В частности, при a - с имеем (log, г)' = (Ins)' « \ log4e = і. т.е.

(ІП Ш Производная от а1 есть а'Ыа, т. е. если у = а- то і/ - а*Чпа. Пусть у = ^ тогда ДР - ***** - ^ ^ «'(а4* " 1)> 3/' = д^ =

т У

1 +

„ 1ІШ д'*** ~ 1 ^ Сем § IS), т.е. (ахУ = a* In а. В частности,

АЛ _W ? если а = в* то = Є .

Пример. Продифференцировать следующие функции:

1) = (5х-+ l)tg* -HxcoStf.

^ = ^ + Х) tgx + xcosx]' = {Ьх2 + l)'tg*+ (5я3 -ь i)(tg*;)' +

5а;2 + 1

+ + — Ida: - tg аг + 3 +«яя-а;ипг

J COS X

2z

, _ + l/U - - (1 - V + 0 _ + 2(^ + 1) =

2 + 2a:- (1 - 2s)2

3) у — -—.

ЙІПЗС

]

I _ г ' 81111 ~ 008 x *[tlx _ Sinx-x- CflflX ¦ Inx _ 1 — '

sm2 T

у

Л - Elfl x

X • Sin I ЇПІ

4) у = logT а. Перепишем заданную функцию в внде у — (здесі учтено, что logft Ь = InЬ/ In а), тогда

/ — (1л хУ т In а

У = lna = —

m х згт х

5)»

1С1 sin ж

, _ щт In IQsina; — 10л_сое Д1 _ iq*1" 10 - ctgo; ^ (situ)2 sin де

6} у — Є* COS2 x.

y* — ex cossx 4- cos sin я) — ^(cos2 x — sin2x),