§ 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях

Доказательство Так как Да?) непрерывна ЦЙ отрезке [а,Ь|, то на этом отрезке она достигает наибольшего значении М и наименьшего значения m (см. § 16), Могут представиться два случая: М — т н М Ф Ф m (М > тп). Если М — in, то функция у — f(x) сохраняет постоянное значение, так как неравенство m < /(») ^ И в этом случае даёт f(x) — m — М при всех X, поэтому /'(х) = 0 а лзобон точке отрезка. Теорема доказана.

Пусть теперь М ф тії, тогда по крайней мере одно из этих чисел не равно нулю, так как /(а) = f(b) —0. Предположим для определённости, что М > 0 и функция принимает своё наибольшее значение при х = С, т, е. f(C) — М. Так как f(C) — наибольшее значение, то Ау — - f{C + Ах) — f(C) < 0 кап при Ах < 0, так и при Ах > 0, Тогда

> С при Ах < 0. а при Ах > 0 ™ ^ D. Учитывая, что по условию

теоремы производная прн х =¦ С существует, то /'(С) ^ 0 при Дд; > 0 и f'{C) ^ 0 при Да; < 0, Решение втих неравенств даёт f'{C) = 0. Знак производной не должен зависеть от того, как Дат —> 0, Следовательно, внутри отрезка [a, &] имеется точка С, в которой производная /'(х) равна кулю. Теорема доказана.

Замечание /. Доказанная теорема остаётся справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка принимает равные значения, не равные нулю.

Замечание 2, На геометрическом языке теорема Рояля означает следующее: если крайние ординаты кривой у — f(x) равны, то на кривой найдётся точка, где касательная параллельна оси Ох.

Примеры.

1.

Решение. Функция дифференцируема на отрезке [1,3] и обращается в нуль в точках ас = 1, х= 2, х = 3 этого отрезка. Следовательно, на отрезках [1,2] и [2,3) для функции f(x) выполнены все условия теоремы Ролля. Существует по меньшей мере две точки интервала (1,3), в которых /'(ас) = 0. Дифференцируя /(а;) н приравнивая нулю сё производную, получим квадратное уравнение Зх2 — 12л; + 11 — 0, решая которое, находим упомянутые точки:

Сі - 2 - -Li С2 = 2 + -L причём 1 < (?! < 2, 2 < <7а < 3. v3 v3

2. Функция f(x) = 1 — № обращается в нуль при л;і = ~1 и Х2 = = 1, но тем не менее /'(я) / 0 при -1 ^ а; ^ 1; объяснить кажущееся противоречие с теоремой Рол ля.

Решение. Противоречия с теоремой кет, так как не выполнено одно из требований этой теоремы: функция f{x) на имеет производной при 1-0. Действительно:

Ау .. -1

— —— — 1,m ~ І"00'

" ііш

Дн- О і/Д.т

= —ос.

lira —^ ~ її пі

ІЇ-.-0 ОТ f-0

І.

Нш

Теорема И, (Теорема Л игран жа — теорема о конечных приращениях). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ Ь] н дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка 'а, Ь] найдется по крайней мере одна точка С, а < С < Ь, такая, что

/О») -/00-Г(О) <*-«). ;

Доказательство. Рассмотрим на отрезке [а, о) вспомогательную функцию F(x) — f(x) — f(a) - -~ (х -а). Эта функция на [а, й]

удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля, тогда

ИЛИ m-f{a) = f{C)(b-a).

р\с) = пс) - т~ /(а) = о

О — (1

Теорема доказака.

Замечание /. Мы получили теорему Л а гра нж а как следствие теоремы Ролля, однако сама теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа (при f{a) f(b) имеем f'(C) — 0).

Замечание 2. Если производная функция равна нулю на некотором интервале (а, 6), то функция постоянна на этом интервале (а, Ь). Действительно, возьмём произвольное значение х из интервала (а, Ь) и по теореме Лагранжэ на интервале (а,а:) имеем f(x) — /(а) — = f'(C)(x — а), а < С < х, но так как f'(C) = 0 по условию, то f{x) — — /(а) = 0, f(x) = /(«) и, следовательно, функция постоянна.

Замечание 3.

Теорема 12, (Теорема Коши), Если каждая из двух функций f{iv) и непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируема во всех

внутренних точках этого отрезка, причём tp' нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри этого отрезка найдется точка С такая, что

№ - №) = Ґ(С) Ч>(Ь)-ір{а) p'icy

Доказательство. Отметим, что - ф 0. Действительно, если бы это было не так, то для были бы выполнены условия

теоремы Ролля, и тогда внутри отрезка |й,Ь] нашлась бы такая точка л; С\ что (С) — 0. а это противоречит условию теоремы. Итак,

^(а) ф ^(Ь), и мы имеем право рассмотреть вспомогательную функцию, которая удовлетворяет условию теоремы Рол л я на отрезке [а, Ь]:

=Дх) - т - т^ш Мх) _ <р(а)].

Тогда найдется внутри отрезка точка С такая, что F'(C) ~ 0. но

п * Я''}-Да} f'(C) „

Откуда имеем — , ' = J А . Теорема доказана, <р(Ь)~<р(а) <р (С)

Замечание, Если v'te) = е, го теорема Лагранжа является частным

случаем теоремы Коши,

Теорема ІЗ. (Теорема Лопиталя)ч Пусть функция f(x) и tf(x) на

отрезке [а, Ь] удовлетворяет условиям теоремы Коши и /(а) = = О.

Тогда, если существует предел отношения f'(x)fo'(x) при х а, то

существует И ІІІГІ Д-Т,

І—Щ L^l-. xj *

lim 44 - lim Ш.

зї-tfi ^p(i) x^a tp'(x)

Доказательство. По теореме Коши имеем = А^т,

Ff ті ff (Ґ~*\

X

а,

a < О < x, но так как f(a) = ф(а) - Qf то = '{су Если то С -KI, тогда

ґм

f\C)

lim

lim

lim т = Urn Ґіа]

Теорема доказана.

Замечание L Теорема справедлива и в том случве, если функции f(x) и не определены лри х = но Hm f(x) — Ііш tp(x) — О

ж—а?—ЧЇ-

или lim f(x) ~ lim ^(х) = оо.

П-)

ш

lim ';, и так далее,

г—a ip (a;)

Замечание 2. Если f'{o) — <р'(а) — Он производные f'(x) н

удовлетворяют тем же условиям, то lim

і —а ^(л)

Раскрытие неопределённостей.

1, Раскрытие неопределённостей вида 0/0.

,, т е1 — — 2х In a;— In а 1) bin ; ; 2) lim — ¦—;

3-+Q ї - Sin ї x ~ a

Решение. I) Трижды последовательно применяя правило Лолита- лят получим

е* - Й-1"

lim

2 л .. -2 ..

— lim —; = Um —г"—

'X — SHia; x-tQ 1 — аг %—Q sini

» Um t±?L = 2.

x^0 cos я;

2) Dm = lim -

X'—ЬП ,1 — (1 I—»Q X (I

3) Lim « lim (ft* In a - ахл~1) = a* (In a - 1).

x—ш x — т.—>a

4. lim {l+x)* - lira 4- (1 + ш)і =

s—0 x dx ¦

1 - In (1 + аг) - 1 2x + Зі2

it /1 , JF- fl + *)ln(l +«) T-

= ЦП1 (1 + а: • J- =1 є ІІШ

a—Q x (1 +- x). x-*Q

і

e 2'

їіїо (2 + 6г)(1 + а;)

r In (1 + X) — — с Jim ———k — -

2x + ЭлГ

Применение правила Лопиталя быяает полезно комбинировать с другими методами и преобразованиями, облегчающими разыскание предела.

Пример 2. Найти

1Ч tgat-ein® ,, tgx — tgo .. xn

I) Jim — * ; 21 bin — —; 3) lim .

т.—ti sin x lc-*a x — a x—*o m сов x

Решение. I. Следуя правилу Лопиталя, ищем предел отношения

Ґ 1 } ГЛн'^ і] — CQ^ Jf

производных, т.е. і-? к—і Здесь числитель и знаменатель

Заіп х cos х

бесконечно малы, но искать предел отношения вторых производных нецелесообразно. Лучше преобразовать отношение первых производных к виду

к— — сое а;

cos х

1

о 3

Заігґгссойя: 3 sin яооа ? и. заметив, что lim

1 — cos ЕЕ _ (1 — eosrc)(I + cos я + cos3 re)

1 + cosi + coi2 х

3 sin'*® х cos3 яг

1 cos ?

Зсоз'л , gill х

„ =: Можно с самого

2 БШ X COS X 2

=s 1, искать lim-——• По пра-

вилу Лопиталя этот предел равен lim начала заменить аіп^т эквивалентной бесконечно малой тогда

1 — COStf

tgae — smi ч. tga; — sin^j ,. 1—eos г

km — =¦ — lim — < — am —,—g— = lim

x—'0 sin. X »0 x 0 З*1 СОЄ I t—0

S111JS

2'

- lim

я-tQ 2x

22 І

1

oo*2 a

tg x - igd a; — a

, — Ііш

т—.0 In cOS.r ї-^tJ — tga:

X

1

^ lim

X

О COfi X jwl

nx

— — lim nxn 2 =

lim

lira

О, n > 2; -2, n ¦ 2: —oo: n — 1 (ft.

4) tint + Q

*-»oo In (з; + it' )

2 Неопределённость вида оо/оо. Пример 3, Найти

1Л п si; у Ineinte ,. i-rJO

1) їли I) Ііш -—-—г ; 3J lim -T5—т^;

Ї —ЭО X Т—'С In SIllQJ J-*Решение І) Прн x—юо In X, x2 бесконечно большие. Отношение

их прон годных равно —у и при х —+ оо равно нулю. К этому же

1п.х Ьж X /х 1

пределу стремится —, lim —т- = lim -г— - lim —~

т/ х х-их> 2х jr—ос 2х

і- In вІпімс &ctgbz btRfia; baa: ^

2) hm -—: = lim —7s— = hm - - . = \m -г— = Ї.

HJ hi sinox j^oactgao; x^oatgbx лїкг

3 > = 2J In 2 + 31 hi 3 = a

4) a < 1,

Іг 2'

t, 1п(г" + ай) „ In і™ тііпх

я—оо in [p?™ +

a > 1,

loo

lim ¦¦¦ —^JT = lim r—^ = hm

2» In х

) «-wtnr3*

а1 In а

1

2

'Mi і 'Аг

x 4- a

lim

+ a*

їті-1

+ 2а*х ІІІ а

ІП (1

=¦ lim

2а

a

> оо

• со

2пя

Здесь учтено, что при п > Он а > 1. т > 0.

0.

Ит —

s-'oo а

Пример 4. Найти lim -—~ п -.

i-tw iH- sin аг

Решение. Числитель и знаменатель бесконечно большие, Прн-

х sin л? * 1 -— COfi ДГ

меняя празило Лопнталя, получим: lim г~ — lim ¦— " ¦—, но

jc—"ос х -Ьзіпа; я—1 + cos л: яри гп —* оо последнее соотношение предела не имеет, так как созд:

х 1— sin X

колеблется между (+1) и (-1), Однако отношение - - -, ¦ при х ™+

я

РІП,г

х Н- Slna: 1 — 1/ї ¦ ыпх

оо

оо имеет предел, так как

- ¦ ¦ ¦¦ ¦¦¦. И при X

I + (l/і) -ша;

х

стремится к единице (здесь учтено, что произведение бесконечно малой l/і на ограниченную |зтд| ^ I есть бесконечно малая).

Правило Лопиталя не приводит к желаемому результату, так как не выполнено условие теоремы Лопиталя, т, е. предел отношения производных должен существовать. 3> Неопределённость вида 0 - оо.

'в

іС--Ш

Пусть имеем lim /(ат) ¦ X —щ

Если исходное выражение переписать н виде f(x):

-г^-, то при х —у а получим неопределенность вида 0/0, или оо/оо.

Пример б. Найти Ііп^ х ¦ In х. Р е ш е If и е.

ж — — Иш х — 0,

г—і-О

lim х lnx = liin ^ — lim ,

х —^ о Ї—*0 ^ і—1*0 -

X X

Замечание, При вычислении пределов, связанных с логарифмической функцией, следует помнить, что

а > 1

Ііш х — —оо, lira xTl loga х = 0, lim log. х = оо.

аг—fO+O г—Э+O ш-юо

0 < а < 1

lim log. г — оо, lim хп log„ х = 0, Ііш Iogfl я = — оо.

х —tO-fO і—10+0 ас—к»

4. Неопределённость видя ос — оо.

Неопределённость этого вида алгебраическими преобразованиями сводится к неопределённости вида 0/0 или ос/оо. Пример 6, Найти

1) lim (-- -sJ—\ 2) lim iy/z + х - 1 - ^Jx2 - х -М) . Решение. 1) Приводим дроби к общему знамс]іателЕО:

Є* - S - 1

lim і — s——* lira c . —Vі = lim

HO fi — I 4- яе1

-*Q\X с — I / x^Q - L) x—

1

2

= ІІш —j ? ї

i-ro ? +{ ¦(¦ are

lim ^ + ^ + + D Иш

1

+ x + і + ^

-{

1 при x — 1 при a:

+CO,

—оо.

5. Неопределенности вида С0, oo°t І™, 0Ж.

Каждая из этих неопределённостей имеет вид у — /V, где при і —> ct функция /(х) стремится к Qt оо или 1, а функция <р(х) стремится со-

ответственно к О, 0Т оо. Логарифмируя у — /V получим (считай / > 0): In у = <р Ь/. Найдя lim Inj/, легко получить Ііш у,

I—*Й і—

Пример 7, Найти

[} lim{sina;)Bjni; 2) lim f-Y^; 3) lim VTJte;

Г—>0 \xj v—tO

4) lim(arcsina:)1^1"i; 5) lim (1 + 6) lim {cos x)lt

ґ—0 1-м- —do

In аіпз;

Решение. 1) Пусть у як (emx)™*1* тогда lim In у — lim

к—>0

sir; г,

- lim sinx = 0, откуда lim у = c° ~ 1.

ai—10 is—iQ

* sin a: — 0j тогда lim у = ? = ].

2) lim Іпу —- - lim = lim ^^ ^-«{JCtgX i—o x

3) Пусть у ~ \fl + 2xt тогда limine = lim - In(1 + 2a:) =

ї—*0 ;t--tt x

— lim

, _ = 2, отсюда находим lim у = є2.

ї—•[} 1 *t- 4Х ї^о

— 1. тогда lim у —

ST

4) lim - lim ^^ = lim

— lim (arcana:)1/ІТ1И — e.

я—»0

1д(1 + <Гх) _

5) lim In у

я;—>¦—W

lim

— -- 0, следователь-

lim

-co

но Km (1 + =1.

x—w

= .щЩ^Ї _

2я

6) lim lVk у ==: Um -n CQS x,

Ї-^О X—fQ ArCtgLC

lim [cos x)^ 13 = e" V2 r Пример 8, Найти

і) шіі 2) lim (-^-Т: 3) lim (-^-Y;

к-tO \ x / \srna;/ i^o ^arctgary

4\ lim ( * 5) lim (-aretgsf; 6) lim (10е-зсla 10)^

ДГ-+0 Varcslna;/ ' s^cc \w / s—ft

Решение. 1) Полагая у — ^""г)* і получим

1 — соя 2х

а хл sin 2х 2х sin 2х + 2х2 cos 2л;

1

1 tax sin 2rr lim in?; = Um —^ !n — lim —тИ — lim

- lim

x-*Q

4х

- соа 2а;

sin 2х

ас—т-*о x x ґ

Следовательно, lim у — e^.

ї—*D

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников lbitt

224 Дифференциальное исчисление функций одной переменной [Гл. IV Примеры 2), 3), 4} решаются аналогично. В результате получим

1

lim f-r—I - eG; lim |—-—

аг—to \зті/ х—*о I arctg x

„і = G « .

lim f—- uc—to \arcsin X/

{2 V 2

5) Пусть [-arctg я] , тогда lim \xiy — lim xIn — arctgx =

\JT / I-"® X ion 7Г

X

— — Um

2 ..

= —t отсюда lim у — e

7Г

x—*oo

x-too {l + X ) arclgs

6) у ™ (1G1 — a; In 10)^ t 1

ID* In 10-In 10

lim In у = lim Л Ы(ЮХ -zlnlQ) = lim ' V" Y , ^ =

*-K> y v J в-М) -ЗІП 10)

10=ln 10

= lim

2(1 -Ь a; In 10)10T — 4x in 10

тогда

lim у =

_ In110 _ In 10

Пример 9» Найти

0 +

1) limte1 + as)«; 2) lim

x-fO^ * X —0

Решение.

тогда

I) lim lay = lim [e = lim = 2,

я—tO

a:—f0 X + e

lim(e* + x)* = e2,

x—

і

* і = e~ 1.

lim

x—»0

В заключении этого параграфа приведём некоторые часто ветре* чающиеся пределы, которые легко вычисляются с помощью правила Лопиталя.

.. хп .. в"

I. Пусть a > 1, lim -е- = 0V lim ~ = оо, Ііш ^ = оо,

оо а х—4-—so а в—юо г lim ^т = 0, 1,2>S,.„

—оо X

Формула Тейлора

2, Пусть 0 < а < 1 lim ~ = оо, lim С = К™ ^ = 0.

It—й —- - -- —

X

—do а.

а

lim

- оо, причем, при вычислении этих пределов необходимо

Ї-'^ім Д."

учитывать, что

если а > 1, то lim их — ОО, lim ах =0;

я!—i-oo

если 0 < а < 1, то lim а* ^ О, lim аг ~ оо.

>м j: —t — со