§ 28. Уравнения касательной и нормали к графикуфункции

Нормалью к графику функции у == /(х) я точке Мі{хі:уі) называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной а этой точке. Так как угловой коэффициент нормали

равен кп — — ^ = — ^. то уравнение нормали в точке

имеет вид

(яг^Х!).

ТЫ

У ~ /(*l) -

Пример. Написать уравнения касательной и нормали к Ефивой f{x) = х2 в точке М(2,4),

Решение, Так как f'(xi — 2) = 4, то уравнение касательной есть у - 4 = 4(х - 2) или 4х ~ у - 4 = 0, а нормали х 4- 4у - 18 = 0.

Пример. Написать уравнение касательной к кривой у = ^ параллельной прямой у = 2х 4-1.

Решение, Так как угловой коэффициент прямой у—-2т-hi равен 2 и совпадает с угловым коэффициентом касательной, то из уравнения y'(^i) = 2 найдём абсциссу точки кривой, в которой нужно провести касательную: у' = - хL -2, хі 3, у\ = і З2 - 3, Следовательно, уравнение искомой касательной имеет вид у - 3 * 2(х - 3), или у =

^ 2S] Уравнений касательной и 2 11

Задача 1. В уравнении параболы определить коэффициенты Ъ и с, если парабола у « х2 + Ьа; +с касается прямой у = kx + 1 а точке с абсциссой Xq = 4.

Решение. Так каЕС прямая ут=кх+1 является касательной к параболе н её угловой коэффициент равен kt то к = у'{4) или к ~8 + Ь. отсюда Ь = к — 8. Подставляя п уравнение параболы координаты точки касания Eq = 4, yi\ = Ак + 1 и Ь — к — 8 получим с - 17.

Задача 2> В точке Mi(x^tyi) к кривой у — /(а:) проведена касательная.

Ре ы с н и е. Уравнение касательной: у - f(xі) — -ff{ssi)(x — ari). Она пересекает ось Ох И точке (щ, 0) и ось Оу G точке (0, Ьі), где = -

_ /(хі! ^ ——Искомые величины равны:

/ (®l)

/аї+ч = І/^О-.гтГСхОІ^а'С^Ж; s = fyaiW ^ (x!-

2 2 2

Пусть функция f(x) задана неявна IJ = из (астроида), тогда fix л) — }А — —у?хл и отрезки, отсекаемые касательной от

f 3 1 1/1 ІУ а 1

оси Ох: Й1 = Xi — J7 = XI + у* = (з? + У і ) — ft^^i, а от оси Оу:

11 і 1

bi ~ /і ~ ДіЛ = Уі + я:?9i3 ™ a3Iff Длина искомого отрезка L -- = л/cf-f b'f = а. Площадь треугольника, образоз а много касательной

с осями координат S s= ^ = \ %/яїУІ и а\ -ьбі = с з

Если функция f{x) задану уравнением -j-уа аї, то у[ = 1 " Ь, - X = Л (ij + т S = ^а^/хШ?

-xj *yf, й] = a*if

212 Дифференциальное исч и слсние функций одной п арем с иной [Гл. IV

Условие параллельности секущей и касательной дает kc = кс —

6, кК = з/(хо) = 2хо — т.е. Ху = 3, а уо = = 9. Следовательно, касательная ггроведегш а точке (7(3,?)), её уравнение есть у — уо =

— х0) или у ~ Gx —

Задача 4. Найти угол между двумя касательными, проведенными из точки (0, -4) к параболе у = ї1.

Решение. Пусть касательная проведена в точке параболы ¦А^'о^о)* тогда её уравнение у - у0 » у'(э;иНх - я0). Эта касательная Проходит через точку (0,-4), следовательно, -4 — х2 ^ XQ —

л уа — — А. Искомый угол равен а = 2mctg ^ = ?arctg - = arctgr^.

о 1 J э

Задача 5, Найти уравнение общей касательной к кривым у

= fl{*) " У = /2(2),

Реш єни е. Пусть касательная к кривой у= f\(x) проведена в точке её уравнение И —/|(Х|) == - ^І), а к кривой У — pW — в точке Л/2(а:2»У2)» уравнении у - /г(а:з) = /2(^2}^ -

Х2). Учитывая, что это одна и та же касательная = fo) вычтем одно уравнение из другого, тогда получим систему уравнений: /і(хі) -

Мхг) - {ярі - И Я(ягІ) - ПЫ- ч

Пусть fi{x) — aix + bja; + сі, /з(х) = аэх" + b^x Н- с^, тогда имеем уравнение для определения Х\: Ах\ - Вх\ + С — 0, где Л — й2 — Лі,

В

В'

В = Ьі — Ь^, С — ™ (од — с^) — , Х2 — XL +- тг^ Если рассмотреть

/і(дг) — xі + 2х, — x - 4x4- 5, то уравнение общей касательной

fi® - fly - 4 - 0, л xi = --, уі =± ®а к у2 = Агі в к* —/г =

Задача 6, Составить уравнение касательной и нормали к кривой х = sin2 t, у = соь21 п точке to - тт/6.

Решение.

есть у - Уо - - J70), где - Sin2ffl = Jft) = cos210 = a

і y't 2 sin ifj сов to . j j Л

yx = =r = —--Г—і—; = —1. Искомое уравнение касательной есть

Задача 7, При каких значениях а и з какой точке Afi(si,tfl) график функции у = а касается примой у = кх?

{

Решение. Так как прямая у = кх касается графика функции у = = а1, то в точке касания кх і — а*1 и угловой коэффициент прямой к — = d** In а. Следовательно, имеем систему уравнений

к = aXl lna.

к

Из второго уравнения получаем аХі = н подставля&м в первое

уравнение кх\ ч» или х\ = Подставляя во второе уравнение,

Ьа

имеем к = а1^ In а.

Логарифмируя уравнение, находим 111k = In а і» и н- Lain а =

1 ki s= Lri ti - T"—- + hi In а или In In a = In k — 1 — lu k — in с = In -.

w k а і с e

Отсюда In a = - или a = ее. Тогда X\ = -— = r r a w, = е. Итак, t e 'ті n A;

№ ej .

Задача 8. Череа точку пересечения кзивоії р = х2 + Stt — И с осью ординат проведена касательная ЕС этой кривой. Найти площадь фигуры, ограниченной этой касательной и прямыми х = 0, у = 0.

Решен не. Координаты точки пересечения данной к р и вон с осью Оу равны х — 0, у = —У. а уравнение касательной в этой точке есті» у + 9 так как -- к = 8. Эта касательная пересекает ось Ох

б точке с координатами х « у — 0. Искомая площадь есть площадь

лрямоугольного треугольника с катетами а — !}, Ь = —. Его площадь

с 1 . 81 равна S — -ао — —

Задача При каком условии парабола у =ах? -\-Ьх -Н с касается оси Оя?

Решение, Если парабола касается оси Ох, то её вид есть у — = Поэтому

2.1. { 2 , Ь ^ С , б2 й? \

\ а л 4а лаг j

Отсюда с — ~ — 0> Таким образом, для того, чтобы парабола у = ах2 + 4- Ьх + с касалась оси Ох, коэффициенты о, 6, с должны удовлетворять

равенству с — Отметим, что коэффициенты а не имеют одина

ковые знаки, так как Ь2 = 4ас.

Задача 10. В какой точке МІО^ЕЬУО) парабола у = ах2 касается кривой у ~ Inх?

Решение Для определения координат точки Alt} имеем систему уравнений

yiteoJ = о) "ли о^о = Ьяо;

ЬІ(^о) =V2(аго) или 2ахс =

X I

Отсюда находим: a = —, ?о = v^ > Уо = ^"

Задача П. При каком условии кубическая парабола у — я3 + 4- рх + q касается оси Ох?

Решение, В точке касания Мо(зг0, уа) выполняются условия:

y(xQ) = 0 или xjj + Рхо + Ч —

у![х0) = 0 ил к + р = О,

Отсюда находим х0 = и + = 0, у0 = G.

Задача 12 Написать уравнение касательных к кривым у — х - — х2 и у — —х — х2, если они параллельны.

Рсшение, Пусть в точке уі) прояедена касательная к кри

вой у = х — X2, а в точке М^хъ^уч) — к кривой у = —X — X2.

= -(1 - к), х2 ~ тогда з/1 = -(1 - к2), у2 = -х2 -

~ х2 ~ \ ™ а уравнения касательной к кривой у = -х — х2 есть

1 ' у — кх Н- - (А; I)3, а к кривой у'= х - х2 есть у = кх + - (fc - I)2. где

угловой коэффициент произвольный (—оо < к < оо)..

Задача 13. Найти уравнение касательной к графику функции у — f(x)t перпендикулярной прямой х + у - 2 — 0: 1) fix) 2) fix) =h.x.

Решение. Угловой коэффициент данной поямой равен к = —~ —

1 '

= —1, а касательной = Г(хц) — —т =1 (условие перпендикулярности двух прямых), тогда

кг = f(x0) - а*°\па = 1, =

/ I \

х0 = logft = log^ loga є, y0 = }oga e

Уравнение касательной x - у 4- logn(ehia) — 0 при а = е, * — ^ + + 1 = 0.

Ац = Ґ(хо) - - — 1, яо - I, № = Inso = 0.

і г ХО

Уравнение касательной у ^ я: — 1.

Задача 14. Найти уравнении пертикальной и горизонтальной касательных к эллипсу.

Решение. ДиффереЕіцнруя уравнение эллипса, получаем

1} Для вертикальной касательной к — yf = оо при у = 0, тогда из уравнения эллипса имеем х - ±а, Следовательно, к зллипсу можно провести две вертикальные касательные, кх уравнения есть х =

2) Аналогично для горизонтальной касательной к — у' — 0 при х = = 0, тогда у = ±Ь — две горизонтальные касательные.

Задача 15. При каких значениях а н b касательные к гиперболе у = ——-г в точках её пересечения с осями координат параллельны между собой?

Решение. Гипербола пересекает ось Ох в точке 0), а ось Оу — в точке В Касательные, проведённые в точках -4 и Вt

будут параллельны, если их угловые коэффициенты равны к: Агэ, т. е.

у'(0) — у'(а) или —L-. Отсюда а(а - 2b) = О, так как а ^ О

(} О, у

(при а = О гипербола пересекает оси координат п одзюй точке 0(0,0)), то а — 2Ь (6 / 0). Итак, касательные к гиперболе у = ^в точках: её пересечения с осями координат параллельны между собой при a s= 2b

<а/0,М 0).

Задача 16. Прн каких значеннях параметра а прямая, проходящая через точку М«(1; 4), касающаяся графика функции у = 4 — х2 касается, является хордой и не имеет общих точек с окружностью х2 4-

Решение.

к графику функции у = 4 - х2 есть у - у і = wj (®i)ts — acL) или у — -4-ые? - — х\), так как yi =а 4 - a;;t ?/i(ii) = Эта

касательная проходит через точку Л/о(1: 4), следовательно, координаты точки Мр удовлетворяют ураьненню касательной: получаем уравнение для определения х\ — — 2х\(1 — а^), отсюда = 0 или х\ = 2, тогда ї/і — 4 или О. Таким образом, имеем две касательные + у — -8 = ї)иіу — 4. Решаем две системы уравнений

п Г ?2 + {у- о)2 = t, J х2 + (у — а)2 — I,

; X 4х+у= } \

1) Ш второго уравнения выражаем у — S — 4х н подставляем в первое уравнение Xі + (в — а — 4r)2 = 1. Составляем дискриминант X? = = 4[17 ~{8 - а)2). При D = 0 а = 8±\/Ї7, при D < 0 -оо < а <

8 — уТ?, S 4- \/17 < х < оо, при Г> > 0 8 - /17 < л: < 8 + УЇ7 . Следовательно, касательная 4х + у — 8 = 0: а} касается окружности при а 8ivl7; б) является хордой при 8 — \/Ї7 < а < 8 + vl7; в) не имеет общих точек с окружностью при —оо < а

< 8 — ч/Ї7; 8 + ^7 <

а < со.

2. Аналогично находим для второй касателыкэй у 4: а) касается окружности при а = 3 и а = 5; б) является хордой при 3 < а < 5; в) не имеет общих точек при —оо < а < 3; 5 < а < оо.

Угол между графиками функций у — f(x) и у — Ф(Х) ? точке их пресечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке. Если этот угол равен нулю, графики функций касаются друг друга.

Задача 17. Найти углы, под которыми пересекаются следующие кривые:

]) у = х — 0; 2} у = logft xty — 0; 3) у = х2 х = у2; 4) Xі + у2 != 8, у2 = 2х\ 5) у = sin я;, у = cos я (0 < х < тг). Решение. 1) График функции у = а* пересекает ось Оу в точке Мо(0,1), тогда у'(0) — In а, а уравнение касательной в точке MD(0,1) есть у- 1 = slna нли у = zlna+ Искомый угол определяется из уравнения tgcp = — — firctglnа, так как график второй функции совпадает со своей касательной х = 0.

216 Дифференциальное исчисление функций одной переменной [ Гл:'ІУ

График функции у =logfta; пересекает ось Ох в точке

тогда і/(О — (r^^l = = log* е.

v ' \]па/г»1 In а Mq(1; О) есть у — Ioga с(х - 1) или х — ^ma — 1 = 0, искомый угол

равен ср — arctg{logc

{

¦ а = х2 ¦

Координаты точек пересечения Mi и М2 дашіьтх графиков есть решение системы уравнении

2

X =

х = Mi ^ Mi (0} 0), а: = 0; 1т М2 = Ма(1,1).

а) Ось Ох есть касательная к графику функции у х2 в точке ДА(0,0), а ось Оу — к графику функции ® = у'* в этой точке. Тогда искомый угол ссть угол между осями Од; и Оу, т.е. <р = тг/2,

= §, arctg

б) Составим уравнения касательных к графикам у = а'2 и х — у2 в точке Л/г(1,1). Гак как = 2, j4(1) = 1 = ^ то уравнение касательной к в точке Atfj (1, 1| есть у — 1 в 2(х — 1) или 2а; — у — I = О, а к х — у1 есть у — 1 — - (х — 1) или х - 2у + 1 =0. Искомый угол определяется из

tgy =

4) Координаты точек пересечения данных графиков определяются аналогично и равны АГ| = М] (2, 2). =Мг(2п—2), Тогда: — в точке АД (2,2):

у\{2) = (V^—x^)^^ = уравнение касательной а; + у — 4 — С;

»(2) -

№

уравнение касательной х — 2у -h 2 = 0, а иско-

х~2

мы и угол & этом случае равен = arctg 3 (или тг — tp]); — з точке —2):

= i + 2tf + 2 =.0.

х-2

В этом случае искомый угол также равен \ра = fuctg3 (или ж — 1P2). 5) Еїаходим координаты точки пересечениям уі ~ уъ или smx = я

яв сое xh тогда х = - и Mi

4

JaЛ

(

JT \ 1

—J = —рг. Уравнение касательной х л/2 у — ^ + 1 » 0..

б) І/а (J) - — * Уравнение касательной ас Н- \/2 у " J " 1=0. Искомый угол есть ф = arctg 2\/2 (или тг - ф),