Вывод уравнения кривой, описываемой вектором необыкновенной волны на выходной поверхности плоскопараллельного элемента из одноосного кристалла при вращении падающего под постоянным углом на входную поверхность луча вокруг нормали

Запишем уравнение Френеля для одноосного кристалла в классическом виде [18]

где п - показатель преломления, N₀, N₆- главные значения показателей преломления обыкновенной и необыкновенной волн, k_i- направляющие косинусы волнового вектора преломленной волны в кристаллофизической системе координат.

Поскольку нас интересует направление необыкновенной волны, будем считать, что п - это показатель преломленной необыкновенной волны

В уравнении (2.1) выражение в фигурных скобках равно нулю. Тогда, используя формулы sin²а = 1 —cos²a; sin²β_e = 1 — cos²β_e,получим

Затем, выразив cos²а и cos²β_eчерез скалярные произведения векторов и тк соответственно, получим уравнение Френеля в следующем виде

68

Рисунок 22.Кристаллофизическая система координат xyz в одноосном кристалле Kp, на который по углом а к нормали inпадает световая волна, гр - угол между оптической осью z и нормалью ? - единичный волновой вектор падающей волны, к - единичный волновой вектор необыкновенной волны, X, Y-координаты точки А выхода необыкновенной волны на второй поверхности кристалла в преобразованной системе координат XYZ

Координаты точки пересечения А продолжения волнового вектора необыкновенной волны с второй (выходной) плоскостью кристалла XOY измеряются во второй системе координат XYZ, в которой ось Z является продолжением нормали inк первой поверхности, а ось Y является проекцией оптической оси Z на вторую плоскость.

Обратный переход из системы координат XYZ в кристалло физическую систему xyz осуществляется с помощью двух поворотов - сначала путем поворота на угол гр до совмещения оси Z с осью z, а затем - поворотом вокруг оси z на некоторый угол у до совмещения двух других осей C ОСЯМИ X и у.

Направляющие косинусы M_i, L_iи K_i (z—1,2,3) нормали, падающей волны и преломленной волны в системе координат XYZ равны

69

где h - толщина кристалла. Maτpπ∏aT₁первого поворота на угол гр имеет вид

После этого поворота направляющие косинусы в новой промежуточной системе координат M_li, L_liи K_li(/=1,2,3) равны:

После второго поворота на угол γ до совмещения двух оставшихся осей системы с осями кристаллофизической системы координат, матрица κoτoporoT₂имеет вид

мы, наконец, получаем значения направляющих косинусов нормали, падающей волы и необыкновенной волны -m_i,f_iπk_i(/=1,2,3), причем они выражены теперь через координаты точки пересечения вектора необыкновенной волны со второй поверхностью кристалла:

70

Выражение (2.7) для направленных косинусов подставляем в уравнение Френеля, записанное в формуле (2.3), в результате чего, после необходимых преобразований, включающих приведение к общему знаменателю и приведение подобных членов, мы получаем уравнение формально четвертой степени, которое здесь не приводится из-за крайней громоздкости (1 страница). Однако в этом уравнении, во-первых, уже отсутствуют введенные нами неизвестные промежуточные величины Eи у, а, во-вторых, после перенесения всех членов в левую часть, соответствующий многочлен четвертой степени от двух букв XnY может быть разложены на два сомножителя, одним из которых является множитель X² + y² + h² =О заведомо не дающих действительных решений.

Уравнение (2.8) следует рассматривать как уравнение кривой, которую описывает волновой вектор к необыкновенной волны (точнее, его продолжение) на выходной поверхности кристалла при вращении падающего луча под постоянным углом а вокруг нормали к кристаллу.

В случае гр = 0 (оптическая ось совпадает с нормалью к кристаллу) уравнение (2.8) - это уравнение окружности

из которого следует, что A₂> 0, поскольку каждое из первых трех слагаемых заведомо больше, чем четвертое — sin²a sin²ф.

Анализ (2.8) показывает, что центры эллипсов не совпадают с началом координат, кроме случая, когда оптическая ось ортогональна нормали В последнем случае эллипсы имеют максимальный эксцентриситет.

На рисунке 23 показаны эллипсы - кривые пересечения волновыми векторами необыкновенной волны выходной поверхности одноосного кристалла при различных углах падения а в случае, когда угол между нормалью и оптической осью кристалла составляет 20°.

Рисунок 23. Система вложенных эллипсов- кривых пересечения волновых векторов к необыкновенной ВОЛНЫ C выходной поверхностью одноосного кристалла, полученных при вращении под различными постоянными углами а лучей вокруг нормали к кристаллу, составляющей угол 20° с оптической осью.

72

2.2.