2.3. Анализ уравнения изохром одноосного кристалла

Уравнение изохром (2.19) является уравнением восьмой степени по обеим переменным XnY. Анализ этого уравнения дает следующие результаты

• Обозначив левую часть (2.19) F(x,y),находим непосредственной проверкой, что F(x,y) = F(-x,y)и, таким образом, изохромы одноосного кристалла в самом общем случае представляют собой кривые восьмого порядка, всегда симметричные относительно оси у - проекции оптической оси на плоскость наблюдения.

• Поскольку коэффициенты £?щри парах слагаемых произведений вида XⁿY^kπ YⁿX^kв общем случае различны, то не выполняется в общем случае и необходимое и достаточное условие F(x,y) = -F(-x, —у) для того, чтобы изохромы являлись центросимметричными кривыми C центром инверсии в начале координат (0,0) - точке пересечения нормали к кристаллу с плоскостью наблюдения.

• Для важного случая, при котором нормаль к кристаллу совпадает с его оптической осью (ψ = 0),уравнение (2.18) приобретает вид

Многочлен, образующийся при избавлении от корней в (2.21), является многочленом четвертой степени от двух букв XnY. Однако он может быть разложен на два сомножителя второго порядка. При этом один из них не может равняться нулю при действительных значениях XnYn должен быть исключен из рассмотрения. Второй же сомножитель представляет собой уравнение окружности, радиус которойпри дискретных

значениях порядков максимумов m0,1,2,.., определяется следующей формулой:

Таким образом, изохромы различных порядков для одноосного кристалла, вырезанного ортогонально оптической оси (гр= 0), представляют собой семейство окружностей, описанных вокруг точки пересечения нормали к кристаллу с плоскостью наблюдения коноскопической картины.

Рисунок 24. Изохромы одноосного кристалла, вырезанного ортогонально оптической оси (гр = 0) - концентрические окружности, построенные согласно уравнению (2.21) и имеющие радиусы R_m,рассчитанные по формуле (2.22)

Для другого практически также важного случая, когда кристалл вырезан в плоскости, в которой лежит оптическая ось, т.е. нормаль к кристаллу ортогональна оптической оси (гр = 90°), изохромы, рассчитываемые согласно точной теории, не соответствуют изохромам, получаемым согласно формулам, выведенным из приближенных теорий. Действительно, положив в (2.18) угол гр = 0, получим следующее уравнение

Таким образом, изохромы одноосного кристалла в случае, когда нормаль к его поверхности ортогональна оптической оси, - это отнюдь не гиперболыкак это утверждается в большинстве работ,

посвященных методу коноскопии, а кривые четвертого порядка. Следует упомянуть, что лишь в одной известной работе [21] Г.С. Ландсберг отмечал, что данные кривые - это «почти гиперболы», но не привел их уравнения и не указал порядок кривых.

Для анализа симметрии кривых при гр = 90° удобнее использовать не (2.23), а преобразованное для данного случая уравнение (2.18):

Прямой проверкой путем подстановки в (2.24) последовательно значений x₁- х, y₁— у и их комбинаций легко устанавливается, что изохромы симметричны относительно осей координат XhYh, следовательно, имеют центр симметрии (центр инверсии) в начале координат 0(0,0).

В качестве объекта для моделирования теоретического вида изохром при ψ = 0 возьмем кристалл парателлурита TeO₂со следующими характеристиками, освещенный зеленым светом с длиной волны λ = 5,461 ■ 10^-7m.Толщина кристалла Λ = 2∙10^-2m.Значения главных показателей преломления N₀πЗнаходим для используемой длины волны из [66]: N₀ = 2,2931; N_e = 2,452. Фокусное расстояние fпроекционной системы примем равным 0,2м, что близко к реальным значениям для применяемых линз объективов и коллиматоров. Подстановка указанных значений в уравнение (2.24) сначала для произвольного порядка максимум в данном случае, для m=6000, дает выражение в виде полинома со следующими численными коэффициентами:

3,16655954 ■ 10^-7%⁴- 2,892251508 ■ 10^-7x²y²- 5,149290566 ■ 10^-7y⁴ + 6,334769968 ■ 10^-9%²- 3,056748379 ■ 10^-8y²- 2,532741571 ■ IO^-1 = 0

Как видим, это уравнение является уравнением четвертой степени по двум переменным, и его графическим образом должна быть кривая 4-го порядка. На рисунке 24 представлены изображения изохром с порядками т = 100,200,500,1000,5000,6400, полученные при компьютерном решении уравнения (2.23) с помощью пакета программ Maple.

Как следует из результатов расчетов, и как хорошо видно на рисунке 25, картина изохром для случая, когда нормаль к кристаллу ортогональна оптической оси (ψ = 90°), симметрична относительно оси Y и относительно оси X.

Рисунок 25. Изохромы нескольких порядков в коноскопической картине, построенные в результате компьютерного решения уравнения изохром одноосного кристалла для пластины толщиной 2 см из парателлурита, вырезанной в плоскости оптической оси гр = 90° и освещаемой гомоцентрическим пучком монохроматического излучения с длиной волны λ = 5,461 ■ 10^-7M (N_o = 2,2931; N_e = 2,452), проецируемого после прохождения кристалла на экране оптической системой с фокусным расстоянием /=20 см

Картина имеет центр инверсии в начале координат (0,0).

развернутых относительно осей на 45°, то картина изохром была бы симметрична относительно этих осей на рисунке 24 - относительно прямых у = х и у = —х. Как видим, это не соответствует действительности, что связано с неправильной классификацией в [30, 31] и в других работах, кроме [54], истинного вида кривых - изохром одноосных кристаллов при гр = 90°.Неправильность классификации является прямым следствием упрощений, принятых в этих работах, приводящих к неправомерному понижению степени соответствующего уравнения с четвертой до второй.

Во всех остальных случаях (гр≠ 0; гр≠ 90°) изохромами в коноскопических картинах одноосных кристаллов являются кривые восьмого порядка, не имеющие специальных названий. На рисунках 26-40 показаны теоретически рассчитанные по уравнению (2.23) картины изохром для виртуальных элементов из кристаллов парателлурита при различных углах гр между нормалью к кристаллу и его оптической осью. Шаг между различными углами выбран равным 5°.

Шаг такой величины дает достаточно подробное, но не избыточное представление о динамике изменения коноскопических картин при изменениях угла гр. В то же время, при таком же шаге не остаются не зафиксированными существенные качественные переходы между различными видами и расположениями изохром. На всех рисунках изображены картины изохром, соответствующие толщине кристалла h = 1см, фокусному расстоянию проекционной системы f=^r2Qсм, длине волны монохроматического излучения λ = 0,63228 мкм, для которой показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей равны, соответственно: N₀ = 2,2597; N_e = 2,4119. Оси YnX проградуированы в метрах. Изохромы проведены на рисунках через 25 порядков - Am = 25.

Рисунок 26.

Рисунок 27. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине парателлурита для угла между нормалью к поверхностям и оптической осью гр = IO⁰

Рисунок 28. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностям и оптической осью ιp = 15°

Рисунок 29. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине

кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностям и оптической осью ιp = 20°

Здесь следует сделать промежуточные выводы относительно вида и расположения изохром, основываясь на приведенных рисунках 25-29. Итак, при гр = 0 мы имеем с очевидностью, не оспариваемой ни в одной из работ, семейство концентрических окружностей с общим центром в начале координат. Их радиусы R_mмогут быть вычислены согласно впервые полученной точной формуле (2.24). По мере увеличения порядка m разность радиусов соседних максимумов R_m+1— R_mуменьшается, и картина изохром- окружностей «сгущается» по мере удаления от центра. Далее, уже при сравнительно малых углах ip ⁼5⁰,10°, изохромы, только, напоминающие окружности, но ими не являющиеся, смещаются в положительном направлении оси OY - проекции оптической оси на плоскость наблюдения. У изохром, по мере увеличения из порядков, мы наблюдаем преобразование их формы из окружностей в замкнутые яйцеобразные кривые, сужающиеся в положительном направлении оси OY. При определенных, достаточно высоких порядках, кривые, напоминающие параболы, визуально разрываются и образуют систему кривых, частично располагающихся в 3-м и 4-м квадрантах.

Таким образом, абсолютно все известные из научно-технической литературы положения и высказывания относительно изохром при малых углах гр между нормалью и оптической осью одноосных кристаллов оказываются ошибочными, а именно:

• все изохромы имеют не второй, а восьмой порядок;

• не окружности, а центры замкнутых кривых восьмого порядка перемещаются в положительном направлении проекции оптической оси кристалла по мере увеличения угла гр.

В одной и той же коноскопической картине могут наблюдаться одновременно как замкнутые, так и разомкнутые изохромы, и не существует определенного угла, согласно [15], равного гр = arctgy/2 = 54,7⁰, при

превышении которого эллипсы (на самом деле, как указывалось выше, это не эллипсы) преобразуются в гиперболы (на самом деле, это тоже не гиперболы).

Помимо опровержения вышеперечисленных ошибочных утверждений, следует отметить два интересных факта, которые ранее и не могли попасть в поле зрения исследователей, пользующихся упрощенными уравнениями изохром. По мере увеличения угла ф число замкнутых изохром в поле зрения действительно уменьшается до нуля, в нашем численном примере - при ф > 20° мы наблюдаем только расходящиеся кривые. Во-вторых, расстояние между точкой пересечения самой нижней изохромы с осью Y и точкой пересечения ее самой верхней изохромой (его можно назвать «начальной толщиной пучка изохром») по мере увеличения угла ψ уменьшается.

Рассмотрим далее картину изохром при ψ > 20°.

Рисунок 31. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностям и оптической осью ф = 30°

Рисунок 33. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностями и оптической осью ψ = 40°

Рисунок 35. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностями и оптической осью ψ = SO⁰

Рисунок 37. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностями и оптической осью ψ = 60°

Рисунок 39. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностями и оптической осью гр = 70°

На следующих рисунках замыкающихся кривых - изохром также не наблюдается. Вплоть до углов гр< 50° толщина пучка изохром в центре картины уменьшается, самая последняя верхняя изохрома имеет самые большие радиусы кривизны по мере удаления от начала координат и близка к прямой.

Начиная с угла гр = 65°, наблюдаются резкое утолщение пучка изохром в центре коноскопической картины и увеличение углов наклона изохром к оси X в первом и втором квадрантах.

Наконец, между значениями углов гр, равными 70° и 75°, в III и IV квадрантах наблюдается разрыв пучка изохром, и самые нижние (с максимальными порядками ш) изохромы выходят из поля зрения.

При дальнейшем увеличении угла гр (рисунки 40 и 41 для углов гр, равных, соответственно, 80° и 85°) картина изохром симметризуется относительно оси X, а сами кривые приобретают вид, близкий к виду

гипербол. Однако, вплоть до угла ψ = 90° они являются не гиперболами, а кривыми восьмого порядка. И только при угле ψ ? 90° коноскопическая картина, рассмотренная ранее, становится симметричной относительно оси X. Но и в этом случае изохромы являются кривыми не второго, а четвертого порядка.

Рисунок 40. Теоретическая картина изохром в коноскопической картине кристалла парателлурита для угла между нормалью к поверхностями и оптической осью ψ = 75°

Замкнутость кривых - изохром

Для кристаллов, у которых угол между осью и нормалью равен нулю, решение вопроса о замкнутости изохром очевидно: изохромы любых порядков являются окружностями, и, следовательно, все они замкнуты. Для кристаллов, у которых оптическая ось и нормаль взаимно ортогональны, этот вопрос требует специального рассмотрения. Если бы изохромами для такого случая были гиперболы, как это утверждалось в [15] и почти во всех известных публикациях, то восемь ветвей гипербол должны были асимптотически попарно приближаться к прямым Y=X и Y=-X и нигде не замыкаться внутри квадрантов. Но, как было ранее показано в данной главе, в действительности изохромами для рассматриваемого случая являются кривые четвертого порядка, и их вид по мере удаления от начала координат не угадывается даже интуитивно (рисунок 25) В связи с этим рассмотрим вопрос о замкнутости изохром сразу для общего случая, при котором оптическая ось кристалла и нормаль к его поверхностям не совпадают по направлению.

Перейдем от записи изохром (2.18) в декартовой системе координат к его записи в полярной системе координат. Для этого введем полярный радиуси полярный угол φ, отсчитываемый для удобства от оси

у (это исключает необходимость рассмотрения расположения изохром во II и III квадрантах в силу их симметрии относительно этой оси). После преобразования получаем уравнение

Анализ данного уравнения сводится к выяснению того, является ли полярный радиус г ограниченной величиной при любых значениях ψ > 0 и любых значениях порядков изохром т и остальных параметров.

Соответствующие выкладки, не приведенные полностью вследствие крайней громоздкости, показывают, что, действительно. Для любых комбинаций входящих в уравнение параметров существует максимальное полярное расстояние r_max,определяемое формулой где C - константа, не зависящая от угла ср.

Это означает, что любые изохромы в коноскопических картинах одноосных кристаллах являются замкнутыми кривыми во всем диапазоне возможных углов 0 ≤ ψ < 90° между нормалью и оптической осью.