1.1.3 Определение ИПХ по дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы

а„.у(и) (t) + а„-! y("-1) (t) + ... + ^0 y(t) = bmxm (t) + ... + b0 x(t),

где n > m. Положим

X (t) = 5(t), Y (t) = h(t):

anh(n) (t) + an-! h(n-1) (t) +...

Найдем преобразование Фурье от левой и правой частей:

апЬф {hn (t)}+... + aL {h(1)(t)}+ a0 Ьф {h(t )}= bmLф |^(m)(t)}+... + b0 Ьф {g(t)}.

Обозначим:

CO

Lф {h(t)}= f h(t)exp(-jwt)dt = W(jw),

-ад

{h(n)(t)}= (jw)nW(jw),

ад

Lф fc(t)}= \5(t)exp(-jwt)dt = 1,

-ад

(1.10)

{S(k)(t)}= (jw)k. an (jw) nW(jw) +... + a0 W(jw) = bm (jw) m +... + b0 W(jw) { (jw)n +... + a0} = bm (jw) m +... + b

W (jw) =

bm (jw)" + ... + bp

an (jw) n + ... + a 0

Соотношение (1.10) определяет частотную характеристику системы, получить которую можно непосредственно из дифференциального уравнения, связывающего входной и выходной сигналы системы.

Импульсную переходную характеристику можно найти по имеющейся частотной с помощью обратного преобразования Фурье:

ад

h(t) = —f W(jw)exp( jwt)dw . (1.11)

2п -ад

Пример2.

ЛДС описывается дифференциальным уравнением первого порядка

Tdm + Y (t) = X (t), dt

найти ее ИПХ.

Импульсную переходную характеристику найдем по частотной:

exP(T)

W (jw) = Y+jT; h(t) = 2n]W (jw)exp(jwt )dw t

Проверяем:

w (jw)=T J exp(- ^ exp(- jwt )dt=T J expf- tT - jw^dt=~TY—j = T+1

-ад -ад V J T( T + jwj j