Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

1.1.3 Определение ИПХ по дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы

Пусть входной и выходной сигналы ЛДС связаны дифференциальным уравнением
а„.у(и) (t) + а„-! y("-1) (t) + ... + ^0 y(t) = bmxm (t) + ... + b0 x(t),
где n > m. Положим
X (t) = 5(t), Y (t) = h(t):
anh(n) (t) + an-! h(n-1) (t) +...
+ a h(t) = bmSm (t) +.. + b(iS(t)'
Найдем преобразование Фурье от левой и правой частей:
апЬф {hn (t)}+... + aL {h(1)(t)}+ a0 Ьф {h(t )}= bmLф |^(m)(t)}+... + b0 Ьф {g(t)}.
Обозначим:
CO
Lф {h(t)}= f h(t)exp(-jwt)dt = W(jw),
-ад
{h(n)(t)}= (jw)nW(jw),
ад
Lф fc(t)}= \5(t)exp(-jwt)dt = 1,
-ад
(1.10)
{S(k)(t)}= (jw)k. an (jw) nW(jw) +... + a0 W(jw) = bm (jw) m +... + b0 W(jw) { (jw)n +... + a0} = bm (jw) m +... + b
W (jw) =
bm (jw)" + ... + bp
an (jw) n + ... + a 0
Соотношение (1.10) определяет частотную характеристику системы, получить которую можно непосредственно из дифференциального уравнения, связывающего входной и выходной сигналы системы.
Импульсную переходную характеристику можно найти по имеющейся частотной с помощью обратного преобразования Фурье:
ад
h(t) = —f W(jw)exp( jwt)dw . (1.11)
2п -ад
Пример2.
ЛДС описывается дифференциальным уравнением первого порядка
Tdm + Y (t) = X (t), dt
найти ее ИПХ.
Импульсную переходную характеристику найдем по частотной:
exP(T)
W (jw) = Y+jT; h(t) = 2n]W (jw)exp(jwt )dw t
Проверяем:
w (jw)=T J exp(- ^ exp(- jwt )dt=T J expf- tT - jw^dt=~TY—j = T+1
-ад -ад V J T( T + jwj j
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 1.1.3 Определение ИПХ по дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы:

  1. 1.1.2 Определение взаимосвязей между входными и выходными сигналами системы через ИПХ (Нахождение оператора системы).
  2. 1.1.3 Определение ИПХ по дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы
  3. § 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия
  4. § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
  6. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  7. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
  8. Дифференциальные уравнения высших порядков.
  9. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
  10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  11. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
  12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  13. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
  14. Практическое занятие №5 "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений"
  15. Основные понятия дифференциального уравнения
  16. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
  17. Дифференциальные уравнения второго порядка
  18. 2.2.2. Определение. Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений
  19. Тема 8 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
  20. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.