1.1.2 Определение взаимосвязей между входными и выходными сигналами системы через ИПХ (Нахождение оператора системы).

Y (t) = L{X (t)}. Представим сигнал X(t) в виде:

u в =-ад

du = -dT

со со со

(1.7)

X(t) = J X(T)S(t - T)dT = J X(t)5(t - T)dT =X(t) J 5(t - T)dT

u н =ад

— ад —ад —ад

ад

X (t) J5(u)du =X (t).

Соотношение (1.7) определяет фильтрующее свойство - функции.

{ад | ад ад

JX(t)S(t - T)dT I = JL{XТШ -t)}= JXT)L{S(t -Т) }Т .

-ад J -ад -ад

Но L{S(t)}- не что иное, как импульсная переходная характеристика системы, следовательно,

Y(t) = J XT)h(t -T)dT.

Независимая переменная всегда неотрицательна, и в качестве нижнего предела используется нуль, кроме того, t -T0 > 0, так как реакция не может появиться раньше воздействия, то 0 t t t Y(t) = f X(r)h(t - r)dr = f h(u)X(t - u) = f h(r)X(t - r)dr

0 0 0

t -r = u;r = t - u; dr = -du

u.

Выходной сигнал связан с входным и ИПХ интегралом Дюамеля

t t

Y(t) = f h(t - r)X(r)dr = f h(r)X(t - r)dr . (1.8)

0 0

t - текущее время, прошедшее со времени подачи на вход сигнала. В зависимости от того, на каком интервале времени необходимо рассматривать работу ЛДС, различают два режима работы:

переходной ( динамический) режим;

установившийся (статический) режим.

Переходной режим соответствует работе системы на участке, где ИПХ практически отлична от нуля.

Установившийся режим - это работа на участке, где ИПХ можно считать равной нулю:

0 < t t >ru - установившийся режим.

В установившемся режиме выражение (1.8) принимает вид:

ад

Y(t) = f h(r)X(t - r)dr . (1.9)

0