Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

Математическое описание систем случайных сигналов вчастотной области

Пусть имеем два стационарных случайных сигнала X(t) и Y(t). Каждый из них характеризуется своей корреляционной функцией
Для описания свойств системы сигналов в частотной области используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:
ад
Syx (w) = — j Ryx (т)ехр(-jw^ . (1.170)
2П J
—ад
Рассмотрим свойства ВСП:
адад
Syx (w) = — j Ryx (т)^т^т — j — j Ryx (фт^т^т . (1.171)
2П J 2П J
—ад —ад
Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.
1ад
Re S^ (w) = — j Ryx (т)^^т^т - вещественная часть ВСП,
2п —ад
1ад
Im S^ (w) = — j Ryx (т)sin(wт)dт - мнимая часть ВСП.
2П —ад
Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая - нечетной функцией частоты.
Syx (w) = Re Syx (w) — j Im Syx (w) = |Syx (w)| eXP(—j((w)l
где
|Syx (w)| = yjRe2 S^ (w) + Im2 Sx (w) - амплитудно - частотный спектр сигнала, четная функция частоты,
Г Im Syx (w) ^
((w) = arctg
- фазо-частотный спектр.
v Re Syx (w),
В формуле (1.170) вместо w подставим - w:
1 ад
SyX (—w) = — j RyX (т) exp(Jw z)dz.
В правой части переменную интегрирования заменим на -т
1 ад
Syx (w) = — jRyx (-T) eXP(-jW T)dT 2П -ад
Ryx (-т) = Ryx (т), тогда
1ад
Syx (-W) = ~ j Ryx (т) eXP(-jW T)dT = Sxy (w).
2п - *
—ад
Таким образом,
Syx (—W) = S xy (w) ¦
Взаимная спектральная плотность удовлетворяет свойству
ад
Ryx (т) = j Syx (w) exP(jw T)dw ¦
-ад

То есть, взаимная корреляционная функция и ВСП связаны между собой парой преобразований Фурье.


То есть, взаимная корреляционная функция и ВСП связаны между собой парой преобразований Фурье.


w
Ди?.
wH wD wB
Рисунок 32 - К определению ширины взаимного спектра
Та частота, на которой модуль ВСП достигает максимума, называется основной частотой взаимного спектра.
Весь взаимный спектр располагается вблизи этой частоты. Тот диапазон частот, в котором модуль взаимной спектральной плотности мало отличается от своего наибольшего значения, носит название частного диапазона взаимного спектра.
Ширина его равна ширине взаимного спектра:
Aw = we — Wh .
Определение ширины взаимного спектра
Ширина взаимного спектра может быть определена одним из двух следующих способов:
ад
j|Syx (w)|dw
j) Awc = 0S ( . , (j.175)
|Syx (w)max
2
ад
j| Syx (w) dw
2) Awc = ^ (1.176)
|Syx (w)max
Второй способ получил большее распространение, так как первый интеграл часто расходится.
Взаимный спектр несет информацию о взаимосвязи сигналов в частотный области. Наибольшая такая взаимосвязь наблюдается при частоте w0.
Ширина взаимного спектра указывает на тот частотный диапазон, где взаимосвязь между сигналами достаточно велика.
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме Математическое описание систем случайных сигналов вчастотной области:

  1. Математическое описание систем случайных сигналов вчастотной области