Математическое описание систем случайных сигналов вчастотной области

Для описания свойств системы сигналов в частотной области используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:

ад

Syx (w) = — j Ryx (т)ехр(-jw^ . (1.170)

2П J

—ад

Рассмотрим свойства ВСП:

адад

Syx (w) = — j Ryx (т)^т^т — j — j Ryx (фт^т^т . (1.171)

2П J 2П J

—ад —ад

Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.

1ад

Re S^ (w) = — j Ryx (т)^^т^т - вещественная часть ВСП,

2п —ад

1ад

Im S^ (w) = — j Ryx (т)sin(wт)dт - мнимая часть ВСП.

2П —ад

Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая - нечетной функцией частоты.

Syx (w) = Re Syx (w) — j Im Syx (w) = |Syx (w)| eXP(—j((w)l

где

|Syx (w)| = yjRe2 S^ (w) + Im2 Sx (w) - амплитудно - частотный спектр сигнала, четная функция частоты,

Г Im Syx (w) ^

((w) = arctg

- фазо-частотный спектр.

v Re Syx (w),

В формуле (1.170) вместо w подставим - w:

1 ад

SyX (—w) = — j RyX (т) exp(Jw z)dz.

В правой части переменную интегрирования заменим на -т

1 ад

Syx (w) = — jRyx (-T) eXP(-jW T)dT 2П -ад

Ryx (-т) = Ryx (т), тогда

1ад

Syx (-W) = ~ j Ryx (т) eXP(-jW T)dT = Sxy (w).

2п - *

—ад

Таким образом,

Syx (—W) = S xy (w) ¦

Взаимная спектральная плотность удовлетворяет свойству

ад

Ryx (т) = j Syx (w) exP(jw T)dw ¦

-ад

То есть, взаимная корреляционная функция и ВСП связаны между собой парой преобразований Фурье.

w

Ди?.

wH wD wB

Рисунок 32 - К определению ширины взаимного спектра

Та частота, на которой модуль ВСП достигает максимума, называется основной частотой взаимного спектра.

Весь взаимный спектр располагается вблизи этой частоты.

Ширина его равна ширине взаимного спектра:

Aw = we — Wh .

Определение ширины взаимного спектра

Ширина взаимного спектра может быть определена одним из двух следующих способов:

ад

j|Syx (w)|dw

j) Awc = 0S ( .

|Syx (w)max

2

ад

j| Syx (w) dw

2) Awc = ^ (1.176)

|Syx (w)max

Второй способ получил большее распространение, так как первый интеграл часто расходится.

Взаимный спектр несет информацию о взаимосвязи сигналов в частотный области. Наибольшая такая взаимосвязь наблюдается при частоте w0.

Ширина взаимного спектра указывает на тот частотный диапазон, где взаимосвязь между сигналами достаточно велика.