Математическое описание непериодических сигналов

сигналы, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости

ад

||x(t)|dt < ад;

0

сигналы, не удовлетворяющие этому условию.

ад

t = ад

J| x(t )| dt

Как видим, интегрирование по времени здесь производится в пределах

0 < t < ад .

На практике же мы всегда ограничены некоторым конечным временем, то есть 0 < t < tu. Но чаще приходится давать описание сигналов на участке времени, значительно превосходящем время измерения tu << T. Сигнал x(t) также может быть представлен в виде ряда Фурье:

Ь N

x(t) = "2 + 2 (ak sin(kwt) + Ьк cos(kwt))

k=1

Такие процессы так же обладают линейчатым спектром (в соответствии с рисунком 10), однако, в этом случае спектр не носит убывающего характера. , Ак

2,5 %A wK

we 2,5 %A

Рисунок 10 - Спектр непериодического сигнала, не удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости.

w

Модель центрированного сигнала строим точно так же, как и в случае полигармонического процесса:

0 N

Xm (t) = ? A sin(kwt + фк). (1,43)

k=m

Однако здесь частота w имеет совершенно другой смысл, так как Т в данном случае не есть период сигнала, а лишь интервал наблюдения. Энергия модели так же принимается равной 95 % энергии сигнала. Нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяется отсечением 5 % энергии, как это показано на рисунке 10.

т m—1 т ад

Am = 0,95 A; - ? A = 0,025A; - ? A = 0,025A . (1,44)

2 k=1 2 k=N+1

или

N

? A2k = 0,975A; wH = mw;w8 = Nw.

2 k=1

Обратимся теперь к вопросам математического описания детерминированных процессов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости:

X)

t < ад.

J| x(t )| dt

Для описания таких сигналов используется прямое и обратное преобразование Фурье, то есть сигналы этого типа обладают не линейчатым, а непрерывным, гладким спектром:

ад

x( jw) = J x(t)e—jwtdt;

—ад

ад

x(t) = — Jx(jw)ejwtdw . (1.45)

2П —ад

Фурье-образ сигнала x(t) - его спектр или частотная характеристика x(jw).

ад ад ад

x(jw) = J x(t)e—}wtdt = Jx(t)cos(wt)dt — j J x(t)sin(wt)dt. (1.46)

—ад —ад —ад

ад

Re X (jw) = J x(t )cos(wt )dt - вещественная частотная характеристика,

—ад

четная функция частоты;

Im X (jw) = J x(t )sin(wt )dt - мнимая частотная характеристика,

—ад

нечетная функция частоты.

X(jw) = Re X(jw) — j Im X(jw) = exp Im X( jw )

— jarctd Im X(jw) *^Re2 X(jw) + Im2 X(jw),

Re X (jw)

- фазо-частотная характеристика;

arctd-

Re X (jw)

VRe^+Im2 - амплитудно-частотная характеристика. Амплитудно-частотная характеристика может быть найдена без предварительного определяется вещественной и мнимой частотных характеристик:

Ix(jw)l=4 lx(jw)l =Vx(jw) x(—jw)

w

|x(jw)

Рисунок 11 - Амплитудно-частотная характеристика детерминированного сигнала.

На рисунке 11 изображена АЧХ сигнала рассматриваемого типа. То значение частоты, при котором АЧХ имеет максимум, называется основной частотой сигнала. Диапазон частот, в котором амплитудно-частотный спектр имеет значения, сигнала. Его границы - wH, w6 Aw = we — wH - ширина спектра

сигнала.

Существует несколько способов определения частотного диапазона. Рассмотрим эти способы.

Основным являются энергетический подход к определению частотного диапазона. Вычислим энергию сигнала в предложении, что время изменяется в бесконечных пределах.

A = J x 2(t )dt

—ад

Перепишем выражение для энергии:

ад ад I 1 ад I 1 ад | ад |

A = Jx(t)x(t)dt = Jx(t)J — Jx(jw)ejwtdw \dt = — Jx(t)dt\ Jx(t)ejwtdt \dw,

2n J I 2n

ад —ад v —ад J —ад i —ад j

но выражение в скобках равно X(-jw), тогда:

ад 1 ад

A = J x 2(t )dt = —J| x( jw)2 dw,

ад 2п —ад

то есть энергия сигнала зависит только от амплитудно-частотного спектра и не зависит от фазо- частотного спектра.

(1.47)

A =

ад 2 1 ад 2 J x 2(t )dt = — J| x(jw)|2 dw

называют равенство Парсеваля. Под частотным диапазоном сигнала понимают полосу частот, в которой сосредоточено 95 % всего сигнала (в соответствии с рисунком 12).

w

|x(jw)

Рисунок 12 - Определение частотного диапазона по энергетическому критерию

Запишем уравнения для определения границ частотного диапазона:

(1.48)

J| x(jw)|2 dw = 0,95 J | x(jw)|2 dw.

Отсюда находим верхнюю и нижнюю границы полосы частот. Однако, уравнение одно, а неизвестных два. Поэтому логично воспользоваться следующим подходом:

J x(jw)\2 dw = 0.025J1 x(jw)|2 dw

0 0

ад ад

J| x(jw\2 dw = 0.025J| x(jw)\2 dw.

Оба эти уравнения имеют единственное решение. Далее можно найти ширину полосы частот AW=WB-WH. Или, при известной основной частоте сигнала, можно предположить, что частотный диапазон симметричен относительно основной частоты W0:

Aw 2

Aw

(1.50)

WH = wo -¦

= Wo +-

2

Полученные значения верхней и нижней граничных частот подставляем в равенство Парсеваля:

Aw

Wo +— 2

ад

Л x(jwfdw=0.95JI x(jwfdw.. (1.51)

Aw

wo —

При известной основной частоте это уравнение с одним неизвестным и единственным решением.

Рассмотрим теперь некоторые другие подходы к определению частотного диапазона. Согласно первого из них, называемому метрологическим (в соответствии с рисунком 13), под полосой частот понимают координаты пересечения АЧС с некоторой прямой, проведенной параллельно оси частот.

kML

Wc

Рисунок 13 диапазона

- Метрологический подход к определению частотного

(1.52)

lx(jw)l2=ix(jw)L-A* \X(JWI

< jwt

r

x(jwt

V/ y|r

= 1 -Y.

=1 --

(1.53)

A

Часто выбирают у=0.05, а вообще у назначают исходя из конкретных технических условий, например, в радиотехнике принято считать у=0.5.

Следующий и последний подход позволяет определить ширину спектра по формуле:

Л |x( jw)\2dw

Awc = Jo' ,2 . (1.54)

x( jw)\

I Vc/ max

Нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяются в предположении их симметричности относительно wo:

Aw

wH = wo - 2

Aw

w = w +

.

На практике все сигналы подразделяются на две группы: широкополосные и узкополосные. К узкополосным относятся сигналы, ширина спектра которых значительно меньше основной частоты:

Awc << wo.

Широкополосные - это такие сигналы, у которых частотный диапазон значительно превышает основную частоту:

Awc >> wo .