2.2.1 Общий подход к математическому описанию объекта измерения
Поскольку составляющие объекта X]tX2,..,Xn являются случайными величинами, то естественно рассматривать их в совокупности как систему случайных величин (X]X2,..,Xn).
Исчерпывающим описанием этой системы величин является закон распределения. Допустим, что тем или иным способом определена плотность совместного распределения величин X]X2,..,Xn, входящих в систему f(X],..,Xn) .По известной плотности распределения системы случайных величин находят плотности распределения f(X]), f(X2),..., f(XN) отдельных величин, входящих в систему:
адад
f (x1) = J-Jf(xl,¦¦¦,xn)dx2 - dxn;
0 0
адад
f (xn ) = J-J f ^г'.. xn )dx,-dxn-1 .
0 0
Зная плотность распределения системы величин и плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, можно проверить, являются ли все величины (составляющие) X] ,...,Xn взаимонезависимыми. Критерием взаимонезависимости является выполнение условия
f(X1Xn) = f(xx)f(x2)...f(xn). (2.1)
Если это условие будет выполнено, то все параметры можно рассматривать как взаимонезависимые. Если же окажется, что условие (2.1) не выполняется, то это будет означать, что часть величин X],... ,Xn или все они являются взаимонезависимыми. В этом случае необходимо выявить взаимонезависимые и взаимозависимые величины и затем найти алгоритм определения одних составляющих через другие.
Для решения этой задачи необходимо определить условные плотности распределения каждой из составляющих X] ,...,Xn:
X
(2.2)
f
,..., Xn
f (X1V, Xn )
V X2
X
ад
j f (X1v, Xn )dX1
—ад
(2.3)
f
Xn-1
_ f(X1v, Xn )
V X1
ад
jf (X1v, Xn )CX
—ад
Критерием независимости величины Xk от всех остальных является равенство
(2.4)
f (X k /Xk—1, Xk+1,-., Xn ) = f (Xk )•
Невыполнение этого равенства будет означать, что величина Xk взаимозависима с какими-то из величин X],...,Xk-i, Xk+i,...,Xn, а именно с теми, функцией которых является условная плотность распределения величины Xk.
Чтобы найти эту функциональную связь, надо определить условное математическое ожидание величины Xk:
X
= j Xkf
(2.5)
ck.
M
X
,•••, Xk—1, Xk+15-", Xn
,•••, Xk—1, Xk+1,..., Xn
X
V X1
Это условное математическое ожидание отражает функциональную связь величины Xk с другими:
X
(2 6)
Xk = M
X
-,•••, Xk—1, Xk+1v, Xn
Формула (2.6) как раз и показывает алгоритм определения составляющей объекта измерения X, через другие, с которыми она связана.
Таким образом знание совместного закона распределения составляющих объекта измерения позволяет решать все интересующие задача Но, к сожалению, нахождение такого закона распределения сопряжено с громадными трудностями, связанными с большой затратой материальных средств и времени • Особенно это усугубляется при большом числе составляющих объекта измерения. Поэтому описанию методику целесообразно применять лишь тогда, когда число составляющих невелико (n =3-5).
При большом числе составляющих объекта измерения, с целью сокращения материальных и временных затрат, целесообразно в начале решать качественную задачу, позволяющую лишь ответить на вопрос, какие из составляющих взаимонезависимы, а какие зависят друг от друга.
К количественной оценке взаимозависимостей между ними надо переходить лишь после решения первой задачи.Первая, качественная задача, может быть решена двояко. Во - первых, уже на основе предварительного словесного описания исследуемого объекта и физических процессов, протекающих в нем, может быть вынесено суждение о взаимосвязи составляющих.
Помощь здесь могут оказать, например, функциональные схемы объектов.
Если априорно выявить взаимосвязи удается лишь между небольшим числом составляющих или вообще не представляется возможным, то целесообразно провести статистическое исследование объекта исследования.