2.3. Математическая постановка задачи. Начальные и граничные условия. Описание расчетной области объекта
Для расчета трехмерного турбулентного течения несжимаемой вязкой жидкости в расчетной области корпуса системы отопления имеющую разветвленную схему воздуховодов (рис. 2.9), в программном комплексе STAR-CD используют уравнения сохранения массы и количества движения.
В движущейся декартовой координатной системе эти уравнения (Навье-Стокса) имеют следующий вид [56]:(2.1)
где / - время; х, - координата в декартовой системе (/ =1,2,3); И/ - значение абсолютной скорости жидкости в системе координат х/,
л*
ui= UJ ~ иФ ~ относительная скорость между жидкостью и локальной
(движущейся) системой координат, которая двигается со скоростью ис}\ р = ps—PogmXm- пьезометрическое давление,
где р, - статическое давление; ро - плотность жидкости; gm - гравитационная составляющая; хт - координаты области в которой определили р0\ р - плотность; ц - компоненты тензора напряжений; sm - искомая масса; s{ - компоненты внешних сил; 7J ~ детерминант метрического тензора.
Выше описанные уравнения характеризуют следующие частные случаи течений: стационарные и нестационарные течения с возможным учетом кавитации; ламинарные течения газов, ньютоновских и неньютоновских (сжимаемых и несжимаемых) жидкостей; турбулентные течения; турбулентные течения со свободно движущимися поверхностями и др.
Жидкости и газы, для которых справедливо соотношение:
du
г =
dy
называются ньютоновскими.
Этот закон трения Ньютона записан для движения простейшего вида и, следовательно, простейшего вида деформации частиц жидкости. В общем случае, при рассмотрении произвольного движения жидкости, необходимо обобщение закона трения, это было сделано Стоксом (1845 г.), причем в предположении, что напряжения пропорциональны соответствующим скоростям деформации:
о 2 s
где р - молекулярная динамическая вязкость; <5,у - единичный тензор (символ Кронекера) по определению обладающий следующими свойствами: 5,j=\ при /=у, дц = 0 при # j\ s,j - тензор скоростей деформации, который равен:
' ди, | ды/ ^ дх, у
Sv = — 9 2
Для турбулентных течений uit р и другие зависимые переменные, включая гу, принимают усредненное значение (эквивалентно усреднению времени для стационарного случая течения).
Для ньютоновских жидкостей:где и, - величина пульсации скорости, усредненная по скорости основного потока жидкости. Крайний правый член в представленном выше уравнении, который связывает усредненное поле скоростей с турбулентной моделью, согласно теории Рейнольдса, представляет собой касательные напряжения при турбулентном течении.
В принципе, в STAR-CD можно задать любую форму уравнениями изменения количества движения, но он содержит встроенные заготовки для двух общих видов сил, приложенных к жидкости, это массовые (внутренние) и поверхностные (внешние) [5].
Массовые силы
St=g,(p-po),
где gj— компонента ускорения свободного падения в направлении xt, и ро плотность жидкости.
Поверхностные силы
Si = г к),
где /- функция включающая в себя компоненты вектора угловой скорости сок и радиус вектор гь действующие вокруг определенной пользователем оси.
Для расчета отопителя применяются уравнения, описанные в первой части, но имеют более простой вид в силу того, что в этом случае нет вращения сетки и течение стационарное, уравнение неразрывности:
дх,
В STAR-CD имеется набор математических моделей турбулентности, для течений с определённым числом Рейнольдса и бурные скалярные изменения. Это модели различного типа: алгебраические, двухпараметрнческие и другие. [73,78,81]Также применены специальные модели, чтобы характеризовать поток около твердых стен:
нелинейная квадратичная модель;
нелинейная кубическая модель;
стандартная к - е уравнений (линейных и нелинейных);
RNG к - е модель;
уравнения для двухпараметрнческих моделей:
модель Норисса-Рейнольдса;
модель Вольфстена;
модель Хасида-Пореха;
модель по длине смешивания;
к - е модель для низких чисел Рейнольдса;
к -1 модель;
модель задаваемая ц(;
LES - модель;
модель Смагорински.
В нашем случае для расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в многоканальном корпусе системы отопления для течений с высоким числом Рейнольдса в программном комплексе при расчете турбулентности достаточно использования стандартной к - ? модели, уравнения которой имеет вид:
уравнение кинетической энергии турбулентности к: дх.
1 д 4sdt
/va*
ди, дх, Р • rNLy
где ц€(Т=ц + ц,;
p = 2s ^L'P a-^-I^.. P = (-йй -2s Vhj p dx, Г - t-stt rs > 1В о » rKL I. dxi СГи, p ox. ox,
PNL = 0 для линейных моделей; сгк - эмпирический коэффициент. Уравнение скорости диссипации кинетической энергии ?:
1 д Мм де дх. p"j?—тг <7,
(2.3) ди, С ? М,(Р + Св3Рв)~ дх, ди, . { дх,
где ае, СЕj, Се2, Ссз и СС4 - эмпирические коэффициенты, значение которых представлено в таблице 2.2. Турбулентная вязкость pt> появляющаяся в вышеуказанном уравнении (2.1) определяется через следующее уравнение: Сирк: Ml -1и где= 1. Таблица 2.2 - Значение коэффициентов для стандартной к - е модели
С, Ok СГс oh Om с?, Сс2 С?з С?4
0,09 1,0 1,22 0,9 0,9 1,44 1,92 0,0 или 1,0* -0,33
*Сез = 1,0 при Р» >0 и нулю для всех остальных случаев. Аэродинамическое сопротивление радиатора описывается следующим уравнением: -KjUi = др/д^и
где Ki - проницаемость, Uj - скорость потока во взаимно перпендикулярных направлениях (i = 1,2,3), р - давление. Проницаемость Ki может быть представлена в виде квазилинейной функции от результирующей скорости потока |v|: Kj= dj M + ft, где OiH pi - коэффициенты проницаемости. При учете аэродинамического сопротивления радиатора коэффициенты проницаемости могут вычисляться как для случая высокопористого изотропного сопротивления по формуле: dp/L = 150(0.(1-e)2u/( e2Dp2) - 1.75р(1 - e)u2/( e2Dp), где ц - динамическая вязкость, кг/(м'С); р - плотность воздуха, кг/м3; Dp - главный диаметр, м; е - коэффициент пористости; и - скорость истечения газа через пору, м/с, L - расстояние, на котором происходит изменение давления, м. В этом случае коэффициенты проницаемости вычисляются по формулам: a=l,75p(l-e)/(cDp); p=150/n(l-e)2/(?2Dp2). Для принятых в расчете р= 1,205 кг/м3; ц = 1,8МО*5 кг/(м-с); Dp = 0,004 м; е = 0,7 значения коэффициентов равны a = 322,77 кг/м4; р = 31,17 кг/(м3-с). Расчетные коэффициенты проницаемости задаются в исходных данных для выделенных ячеек, принадлежащих объему, соответствующему радиатору. Для первого режима работы турбинного нагнетателя на входе задавались следующие граничные условия: скорость Uj = 2,51 м/с и перпендикулярна границе входа, т. е. проекции скорости на оси OY и OZ равны нулю (v = w = 0). На остальных режимах граничные условия входа будут аналогичны, за исключением модуля скорости по направлению оси ОХ: на втором режиме U2 = 3,75 м/с, на третьем - из = 4,51 м/с (рис. 2.9). Стенка: абсолютно твёрдое тело, и-0, v-0, vv=0
Рис. 2.9 Граничные условия