Граничные условия для 4-3-4-траекторий
Граничные условия для 4-3-4-траекторий показаны на рис. 15.1.
Рисунок 15.1. Граничные условия для 4-3-4-траектории в пространстве присоединенных переменных
Первую и вторую производные рассматриваемых полиномов относительно реального времени можно представить в следующем виде:
(15-1)
;
, (15-2)
.
Для писания первого участка траектории используется полином четвертой степени:
, . (15-3)
. (15-4)
. (15-5)
1. Для t=0 (начальная точка данного участка траектории). Из граничных условий в этой точке следует:
, (15-6)
. (15-7)
Отсюда имеем и
, (15-8)
что позволяет получить .
Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (15-3), получим:
, .
(15-9)2. Для t=1 (конечная точка данного участка траектории). На этом участке действует условие непрерывности по скорости и ускорению, т.е. скорость и ускорение в конце первого участка траектории должны совпадать со скоростью и ускорением в начале второго участка. В конце первого участка скорость и ускорение соответственно равны:
, (15-10)
. (15-11)
Для описания второго участка траектории используется полином третьей степени:
, . (15-12)
1. Для t=0 (точка ухода). Пользуясь равенствами (9-5) и (9-6) в этой точке, имеем:
, (15-13)
. (15-14)
Отсюда следует ,
(15-15)
и, следовательно, .
Поскольку скорость и ускорение в этой точке должны совпадать соответственно со скоростью и ускорением в конечной точке предыдущего участка траектории, то должны выполняться равенства:
и , (15-16)
которые соответственно приводят к следующим условиям:
, (15-17)
или
(15-18)
и , (15-20)
или .
(15-21)2. Для t=1 (точка подхода). В этой точке скорость и ускорение должны совпасть со скоростью и ускорением в начальной точке следующего участка траектории. Для рассматриваемой точки имеем:
, (15-22)
, (15-23)
. (15-24)
Для описания последнего участка траектории используется полином четвертой степени:
, . (15-25)
Если в этом равенстве заменить t на и рассматривать зависимость от новой переменной , тем самым мы произведем сдвиг по нормированному времени: если переменная t изменяется на интервале , то переменная изменяется на интервале . Равенство (10-25) при этом примет вид:
, . (15-26)
Пользуясь равенствами (10-1) и (10-2), найдем скорость и ускорение на последнем участке:
, (15-27)
. (15-28)
1. Для (конечная точка рассматриваемого участка траектории). В соответствии с граничными условиями в этой точке имеем:
, (15-29)
.
(15-30)Отсюда следует:
.
Далее,
(15-31)
и, следовательно
.
2. Для (начальная точка последнего участка траектории). Условия непрерывности скорости и ускорения в точке подхода записываются следующим образом:
и , (15-32)
или
(15-33)
и
. (15-34)
Приращение присоединенной переменной на каждом участке траектории можно найти по следующим формулам:
, (15-35)
, (15-37)
. (15-38)
Все неизвестные коэффициенты в полиномах, описывающих изменение присоединенной переменной, могут быть определены путем совместного решения уравнений (15-35), (15-18), (15-20), (15-37), (15-33) и (15-38). Подставляя эту систему уравнений в матричной форме получим:
, (15-39)
где
(15-40)
, (15-41)
. (15-42)
Таким образом, задача планирования траектории (для каждой присоединенной переменной) сводится к решению векторного уравнения (10-39):
(15-43)
или
. (15-44)
Структура матрицы С позволяет легко найти неизвестные коэффициенты. После определения коэффициентов производим обратную замену, состоящую в подстановке в равенстве (15-26). Тогда получим:
(15-45)
.