Построение оптимальной траектории при данных краевых условиях.

Как и в задаче 1, оптимальная траектория будет состоять из куска одной из гипербол семейства (3) и (4) и куска линии переключения. Из рисунка видно, что если точка находится в полосе между прямыми и , то оптимальная траектория

найдется. Если же точка находится вне этой полосы или на одной из прямых , , то оптимальной траектории нет (Это объясняется тем, что в задаче имеется фазовое ограничение так что ).

Пусть, например, точка содержится в этой полосе левее линии переключения в верхней полуплоскости.

Тогда по одной из гипербол семейства (4) под управлением в некоторый момент дойдем до линии переключения и затем по линии переключения под управлением дойдем до точки . Эта траектория будет оптимальной, так как выполняется принцип максимума Понтрягина.

Действительно, при , т.е.

Оптимальное управление имеет вид . Аналогично определяются оптимальное управление и оптимальная траектория при других расположениях точки относительно линии переключения.

2.3.3. Пример.

(в момент маятник отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан и движется влево со скоростью 1 ед.). Здесь . Можно убедиться, что точка содержится в полосе управляемости между прямыми и , правее линии переключения в верхней полуплоскости.

До линии переключения дойдем по гиперболе семейства (3), проходящей через эту точку, под управлением . Найдем закон движения по такой гиперболе с момента из точки :

Закон движения имеет вид:

Гипербола имеет уравнение:

.

Найдем точку её пересечения с линией переключения (7) (у нас )

Найдем момент попадания в эту точку:

.

Теперь найдем закон движения из точки с момента по линии переключения – гиперболе семейства (4):

Закон движения имеет вид:

Найдем момент попадания в точку назначения (достаточно воспользоваться вторым равенством):

.

Итак, оптимальная траектория имеет вид:

где

оптимальное уравнение

Судя по фазовой траектории на последнем рисунке, управление движением маятника происходит так:

В момент , когда включили управление, маятник был отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан влево и продолжал отклоняться влево со скоростью 1 ед. Чтобы замедлить и остано-

вить его отклонение влево, включили двигатель на полную мощность в направлении вправо. Маятник был остановлен (скорость ) при некотором положительном отклонении (слева от положения равновесия). Это – фазовое состояние . Под тем же управлением маятник стал приближаться назад к положению равновесия (уже с отрицательной скоростью ). Чтобы маятник не перескочил через положение равновесия, в момент управление было переключено на (для замедления маятника). Это – фазовое состояние . После этого маятник пришел в положение равновесия со скоростью (в момент ).