Построение оптимальной траектории при данных краевых условиях.
Как и в задаче 1, оптимальная траектория будет состоять из куска одной из гипербол семейства (3) и (4) и куска линии переключения. Из рисунка видно, что если точка 
находится в полосе между прямыми 
и 
, то оптимальная траектория
 | найдется. Если же точка находится вне этой полосы или на одной из прямых , , то оптимальной траектории нет (Это объясняется тем, что в задаче имеется фазовое ограничение  так что  ).
|
Пусть, например, точка 
содержится в этой полосе левее линии переключения в верхней полуплоскости.
 | Тогда по одной из гипербол семейства (4) под управлением  в некоторый момент  дойдем до линии переключения и затем по линии переключения под управлением  дойдем до точки  . Эта траектория будет оптимальной, так как выполняется принцип максимума Понтрягина. |
Действительно, при 
, т.е.
где 
, использовано управление 
, а при 
, т.е. 
, использовано управление 
. Это значит, что при постоянном векторе 
при всех 
(кроме ) управление 
выбрано так, что функция Понтрягина 
имеет максимальное значение – выполняется п.1) принципа максимума Понтрягина. Как было отмечено раньше, п.2) выполняется автоматически: 
.  | Оптимальное управление имеет вид
Аналогично определяются оптимальное управление и оптимальная траектория при других расположениях точки |
.
2.3.3. Пример.
 |  (в момент  маятник отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан и движется влево со скоростью 1 ед.). Здесь  . Можно убедиться, что точка  содержится в полосе управляемости между прямыми и  , правее линии переключения в верхней полуплоскости. |
До линии переключения дойдем по гиперболе семейства (3), проходящей через эту точку, под управлением 
. Найдем закон движения по такой гиперболе с момента из точки :
Закон движения имеет вид:
Гипербола имеет уравнение:
.
Найдем точку её пересечения с линией переключения (7) (у нас 
)
Найдем момент попадания в эту точку:
.
Теперь найдем закон движения из точки 
с момента по линии переключения – гиперболе семейства (4):
Закон движения имеет вид:
Найдем момент 
попадания в точку назначения 
(достаточно воспользоваться вторым равенством):
.
Итак, оптимальная траектория имеет вид:
где
оптимальное уравнение 
Судя по фазовой траектории на последнем рисунке, управление движением маятника происходит так:
В момент , когда включили управление, маятник был отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан влево и продолжал отклоняться влево со скоростью 1 ед. Чтобы замедлить и остано-
вить его отклонение влево, включили двигатель на полную мощность в направлении вправо. Маятник был остановлен (скорость 
) при некотором положительном отклонении 
(слева от положения равновесия). Это – фазовое состояние 
. Под тем же управлением маятник стал приближаться назад к положению равновесия (уже с отрицательной скоростью 
). Чтобы маятник не перескочил через положение равновесия, в момент управление было переключено на 
(для замедления маятника). Это – фазовое состояние 
. После этого маятник пришел в положение равновесия со скоростью (в момент 
).