3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления

Пример 1. .

? (Считаем как функцию трех переменных)

а) ;

б) ;

в) .

Составляем уравнение Эйлера

. Интегрируем дважды:

экстремали (множество кривых).

Используя краевые условия, находим

.

Единственная экстремаль .■

Пример 2. .

? Уравнение Эйлера

или, с учетом .

Используем краевые условия:

Единственная экстремаль .■

Пример 3. .

? ,

.

Уравнение Эйлера – Пуассона:

.

Характеристическое уравнение

имеет корни .

Тогда получаем экстремаль функционала

.■

Пример 4.

?. Уравнение Эйлера-Пуассона т.е. тогда , .

Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:

Получаем единственную экстремаль

.■

Пример 5. .

.

? .

Уравнение Эйлера-Пуассона: ,

,

тогда уравнение имеет вид

,

Используем граничные условия:

Единственная экстремаль . ■

Пример 6.

? ,

.

Получаем систему уравнений Эйлера

Из второго уравнения находим и подставим в первое:

Получили экстремаль данного функционала. ■

Пример 7. , , , .

?, , , ,

, , .

Система уравнений Эйлера имеет вид:

Рассмотрим второе уравнение , тогда , аналогично .

Для определения констант используем граничные условия

откуда .

откуда .

Получаем . ■

Пример 8. Найти экстремали функционала

, ,

(т.е. ).

? Составим функцию Лагранжа:

.

.

.

Система уравнений Эйлера имеет вид:

складываем эти уравнения:

откуда из граничных условий найдем . Тогда . Добавляем уравнения связи откуда .■

Пример 9. , .

– уравнение связи.

? .

.

.

Составляем систему

вычитаем: , , обозначим тогда

т.е.

Используя граничные условия найдем и :

добавляем уравнение связи: .

Отсюда находим . ■

Пример 10. , , .

? Функция Лагранжа .

Система уравнений Эйлера:

Дифференцируем по второе и третье уравнения:

Подставляем второе уравнение в первое:

, , , , ,

.

Из уравнения связи

.

Из граничных условий получаем систему:

Ответ: ■

Пример 11. .

.

? .

Складываем первое и второе уравнения:

Из граничных условий получаем систему

Добавляем уравнение связи

,

. ■

Пример 12.

? .

Уравнение Эйлера .

.

Определим .

Так как то .

Тогда .

Постоянные найдем из граничных условий:

Ответ: . ■

Пример 13.

.

? .

1) Уравнение Эйлера: .

.

2) Определим множитель Лагранжа:

, тогда

3) Общее решение уравнения Эйлера

.

4) Постоянные и найдем из граничных условий

.

Ответ: Два решения .■

Пример 14.

.

? 1) Уравнения Эйлера

2) Определим и :

откуда ,

, тогда .

3) Решение уравнений Эйлера

4) Найдем постоянные

Ответ:. ■