1.4. Простейшая вариационная задача (с закрепленными границами)

Простейшая вариационная задача для функционала для одной функции с первой производной состоит в следующем:

Среди всех функций , удовлетворяющих краевым условиям (заданные числа), (1)

найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу

.

В этой задаче допустимые функции – все функции , удовлетворяющие краевым условиям (1). При вычислении вариации рассматривается , поэтому функция тоже должна быть допустимой: , . Для этого допустимая вариация должна быть тоже непрерывно дифференцируемой: , причем такой, чтобы (тогда ).

Для функционала с одной функцией и с производными до го порядка простейшая задача такова:

Среди всех функций , удовлетворяющих краевым условиям

, найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу

.

В этой задаче допустимыми вариациями являются функции , удовлетворяющие краевым условиям

(так как, например, должно быть а для этого надо, чтобы ).

Для функционала с функциями и производными до го порядка простейшая задача имеет вид:

Среди всех – мерных вектор - функций с координатами , удовлетворяющих краевым условиям

(2)

( - заданные числа) найти ту вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу

В этой задаче допустимыми вариациями аргументов являются функции , удовлетворяющие краевым условиям