1.5.3. Теорема (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными границами).
Если допустимая функция 
доставляет экстремум функционалу
(1)
при краевых условиях 
, то эта функция 
является экстремалью функционала (1) (т.е.
) и удовлетворяет условиям трансверсальности 
(2)
(Эти условия учитывают то, что концы кривой 
лежат на заданных кривых 
и 
).
Таким образом, для решения этой задачи нужно:
1. Найти общее решение 
уравнения Эйлера (оно 2-го порядка, поэтому две произвольные постоянные 
и 
).
2. Из краевых условий 
и из условий трансверсальности (2) определить постоянные 
и неизвестные концы 
.
3. Вычислить экстремум функционала (если есть уверенность, что найденная функция действительно дает экстремум).
Можно рассматривать и «смешанную» задачу, в которой один из концов закреплен или перемещается по вертикали, а второй конец перемещается по графику какой-либо функции .