1.4.1. Теорема (необходимое условие экстремума в простейшей задаче в терминах интегранта)

Если функционал от вектор - функции

определенный на множестве функций где удовлетворяющих краевым условиям (2):

имеет в допустимой точке экстремум, то эта вектор-функция удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона:

(3)

? Сначала докажем для функционала от одной функции

причем при для , определенного на множестве функций удовлетворяющих краевым условиям

Допустимыми вариациями являются функции такие, что (при доказательство аналогично).

Для упрощения доказательства добавим условие: функция

, доставляющая экстремум функционалу, четырежды непрерывно дифференцируема, т.е.

вместо

(теорема верна и без этого условия).

Согласно теореме 1.2.11, в точке локального экстремума при любой допустимой вариации аргумента вариация функционала равна нулю: . Согласно теореме 1.3.1,

Значит, при любой функции , удовлетворяющей условиям

выполняется равенство

Второй и третий интегралы возьмем по частям:

так как

Таким образом, при любой допустимой функции

(4)

Здесь содержит , и при двукратном дифференцировании по в слагаемом появляется ; для непрерывности этого слагаемого достаточно, чтобы была непрерывна. Именно здесь используется дополнительное условие .

Итак, подынтегральная функция непрерывна на отрезке , и при любой функции такой, что , выполняется равенство (4). Тем более оно выполняется при любой функции , бесконечно дифференцируемой на и такой, что (так как если бесконечно дифференцируема, то производная любого порядка непрерывна: , в частности, ). Но это означает выполнение условий леммы Лагранжа 1.1.2. Согласно этой лемме, на . Таким образом, для функционала от одной функции доказано, что точка экстремума удовлетворяет на отрезке уравнению Эйлера-Пуассона:

. (5)

Согласно теореме 1.2.11 у функционала от вектор – функции в точке экстремума вариация по каждому аргументу (при фиксированных остальных аргументах ) обращается в нуль при любой вариации аргумента : .