1.2.11. Теорема (необходимое условие локального экстремума функционала в терминах первой вариации).

Пусть функционал , определенный на множестве допустимых вектор–функций с координатами имеет в точке локальный экстремум.

.

? Пусть, например точка минимума: существует такое, что

. Возьмем точку

. Для нее . При достаточно малом будет , так как , где . Поэтому имеем

,

т.е.

Таким образом, при всех достаточно малых выполняется неравенство . Это означает, что функция

имеет минимум в точке . По условию, при данной вариации существует первая вариация по аргументу , т.е. существует . Но, по теореме Ферма, если в точке локального экстремума числовая функция числового аргумента имеет производную, то она равна нулю: .

Следовательно, . ■

Замечание. Если найдена вектор – функция в которой первые вариации функционала обращаются в нуль, то это ещё не значит, что в точке функционал действительно имеет экстремум: ведь это необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума функционала сложны, их не будем рассматривать. Но если по смыслу задачи экстремум есть, а найдена только одна вектор – функция , в которой первые вариации обращаются в нуль (“критическая точка”), то в точке обязан быть экстремум.

В достаточных условиях экстремума используется понятие второй вариации функционала, которое мы не будем рассматривать. Поэтому в дальнейшем вместо “первая вариация” будем говорить просто “вариация”.