1.2.11. Теорема (необходимое условие локального экстремума функционала в терминах первой вариации).
Пусть функционал 
, определенный на множестве 
допустимых вектор–функций 
с координатами 
имеет в точке 
локальный экстремум.
при какой-либо вариации 
этого аргумента, то эта первая вариация равна нулю: 
.
? Пусть, например 
точка минимума: существует 
такое, что
. Возьмем точку
. Для нее 
. При достаточно малом 
будет 
, так как 
, где 
. Поэтому имеем
,
т.е.
, или 
. Таким образом, при всех достаточно малых выполняется неравенство . Это означает, что функция
имеет минимум в точке 
. По условию, при данной вариации существует первая вариация по аргументу , т.е. существует 
. Но, по теореме Ферма, если в точке локального экстремума числовая функция числового аргумента имеет производную, то она равна нулю: 
.
Следовательно, 
. ■
Замечание. Если найдена вектор – функция в которой первые вариации функционала 
обращаются в нуль, то это ещё не значит, что в точке 
функционал действительно имеет экстремум: ведь это необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума функционала сложны, их не будем рассматривать. Но если по смыслу задачи экстремум есть, а найдена только одна вектор – функция , в которой первые вариации обращаются в нуль (“критическая точка”), то в точке обязан быть экстремум.
В достаточных условиях экстремума используется понятие второй вариации функционала, которое мы не будем рассматривать. Поэтому в дальнейшем вместо “первая вариация” будем говорить просто “вариация”.