1.5.1. Теорема. (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными концами).

Если допустимая функция доставляет экстремум функционалу в задаче с подвижными концами, то эта функция удовлетворяет уравнению Эйлера, и, кроме того, так называемым естественным краевым условиям

.

? Как и в теореме 1.4.1, для упрощения доказательства добавим условие: функция , доставляющая экстремум функционалу, дважды непрерывно дифференцируема: вместо (это используется при интегрировании по частям. Но теорема верна и без этого дополнительного условия).

Согласно теореме 1.2.11 вариация равна нулю при всех допустимых , в нашем случае – при всех , так что

(*теорема 1.3.1*).

Интегрируя по частям второе слагаемое, получаем

=. Значит,

.

Это равенство верно при любой функции , в частности для функции , у которой , и тем более для любой такой бесконечно дифференцируемой функции :

.

Но по лемме Лагранжа 1.1.2 на , т.е. функция удовлетворяет уравнению Эйлера. Значит, остается равенство

,

справедливое при любой функции . В частности, оно верно для функции , у которой :

,

а также для функции , у которой :

. ■

Можно рассматривать и «смешанную» задачу, в которой один из концов закреплен, а другой конец свободно перемещается по вертикальной прямой. Например, (задано), а правый конец перемещается по прямой . Это дает естественное краевое условие

.

1.5.2. Пример (левый конец закреплен, правый подвижен).

? Уравнение Эйлера: - линейное ДУ 2-го

порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

Его общее решение: . Из краевого условия находим . На правом конце естественное краевое условие имеет вид

Имеется единственная экстремаль .■

1.