Первое достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума.
Теорема 1(первый достаточный признак)
Пусть 
-внутренняя точка области определения функции и 
непрерывна в точке , тогда:
а) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке максимум.
б) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке минимум.
в) если при переходе через точку производная знак не меняет, то в этой точке экстремума нет, т.е. функция в этой же точке монотонна.
Замечание. Требование непрерывности опускать нельзя.
Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)
Если точка - внутренняя точка области определения функции и 
, тогда, если 
, то в точке строгий минимум, и если 
, то в точке строгий максимум.
Доказательство:
Пусть . Т.к. 
, то 
- строго возрастает в точке , и т.к. , то при переходе через точку она меняет знак с минуса на плюс и согласно первому достаточному признаку в этой точке минимум.
17.
Еще по теме Первое достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума.:
- Локальный экстремум функции. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в критической точке при отсутствии ограничений.
- § 34, Необходимое и достаточное условия экстремума
- Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
- Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
- 29. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия для функции двух переменных.
- 15. Локальный экстремум функции. Необходимое условие безусловного экстремума дифференцируемой функции.
- 22. Теорема(достаточное условие возрастания и убывания ф-ий):
- 1.5.1. Теорема. (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными концами).
- 1.6.4. Теорема (необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче).
- 1.6.1. Теорема (необходимое условие экстремума в задаче Лагранжа).
- 1.5.3. Теорема (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными границами).