Первое достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума.
Теорема 1(первый достаточный признак)
Пусть -внутренняя точка области определения функции и
непрерывна в точке
, тогда:
а) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке
максимум.
б) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке
минимум.
в) если при переходе через точку производная знак не меняет, то в этой точке экстремума нет, т.е. функция в этой же точке монотонна.
Замечание. Требование непрерывности опускать нельзя.
Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)
Если точка - внутренняя точка области определения функции и
, тогда, если
, то в точке
строгий минимум, и если
, то в точке
строгий максимум.
Доказательство:
Пусть
. Т.к.
, то
- строго возрастает в точке
, и т.к.
, то при переходе через точку
она меняет знак с минуса на плюс и согласно первому достаточному признаку в этой точке минимум.
17.