1.6.1. Теорема (необходимое условие экстремума в задаче Лагранжа).

Пусть функционал от вектор - функции

,

определенный на множестве функций , где , удовлетворяющих краевым условиям

и условиям связи: голономным

(4)

или дифференциальным

(5)

имеет в допустимой точке экстремум.

Если матрица Якоби

в случае голономных связей (4),

в случае дифференциальных связей (5) после подстановки вместо функций имеет ранг (т.е. в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля минор го порядка – по числу уравнений связи), то существуют такие функции , определенные на отрезе , что функция является экстремалью вспомогательного функционала

,

интегрантом которого является функция Лагранжа

(функции

называется множителями Лагранжа).

1.6.2. Пример. Типичным примером является задача о геодезических линиях: на поверхности найти геодезическую линию, соединяющую точки и (т.е. линию наименьшей длины).

Если линию искать в виде , т.е. как линию пересечения цилиндрических поверхностей и , то, используя её параметрическое представление (за параметр возьмем )

получим ее длину , так что имеем задачу при краевых условиях и при одном голономном условии связи (которое означает, что искомая линия должна лежать на поверхности: ). При решении этой задачи получается сложная система дифференциальных уравнений с неизвестными функциями (множитель Лагранжа), . Мы для демонстрации решения задачи Лагранжа возьмем более простой пример.

1.6.3. Пример

? Условия связи (дифференциальные) имеют вид

так что

.

имеет ранг 2 (минор ).

Составляем функцию Лагранжа

, составляем систему уравнений Эйлера для вспомогательного функционала с интегрантом :

Присоединив условия связи, получим систему уравнений для отыскания неизвестных функций :

Функции и сыграли свою роль для получения этой системы. Больше они не нужны (важно лишь, что они существуют). Поэтому исключим их из системы: учитывая, что получим систему

Отсюда находим

Используем краевые условия:

Отсюда

Нашли единственную экстремаль

.

Рассмотрим теперь изопериметрическую задачу.