1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
В рассмотренных задачах решения должны были удовлетворять некоторым краевым условиям. Но во многих приложениях вариационного исчисления на решение задачи, кроме краевых условий, накладываются некоторые дополнительные условия – так называемые условия связи.
Пусть требуется найти экстремум функционала
, (1)
который будем называть целевым функционалом, на множестве функций 
, удовлетворяющих краевым условиям
и некоторым условиям связи, которые могут выражаться дифференциальными уравнениями (их число 
должно быть меньше числа 
функций)
(2)
(производные 
могут не участвовать, тогда будут просто функциональные уравнения 
), или интегральными уравнениями
(3)
где 
заданные числа.
Здесь предполагается, что функции 
имеют непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно по всем своим аргументам при 
и любых 
.
Эта задача общего вида называется вариационной задачей на условный экстремум. Если даны условия связи дифференциальными (или функциональными) уравнениями (2), то это – задача Лагранжа, если условия связи – интегральные уравнения (3) – изопериметрическая задача (последнее название связано с тем, что эта задача является обобщением старинной задачи Дидоны: среди кривых с заданной длинной 
(с равными – “изо” – периметрами) найти ту, которая ограничивает на плоскости фигуру наибольшей площади). Задача на условный экстремум может быть смешанной с условиями связи обоих видов (2) и (3).
Функциональные условия связи 
(не содержащие производных) называются голономными связями в отличие от дифференциальных связей.
Начнем с задачи Лагранжа. Сформулируем соответствующую теорему без доказательства.