1.5.4. Пример. Найти кратчайшее расстояние между кривыми и .

? Задача состоит в нахождении минимума функционала (длина кривой ) при краевых условиях , где .

Составим уравнение Эйлера: Его общее решение (прямая). Для нахождения используем краевые условия: ,

и условия трансверсальности:

Из системы уравнений

находим .

Экстремаль:. Она единственная, а по смыслу задачи минимум имеется. Значит функция и доставляет экстремум функционалу. Найдем минимальное расстояние:

. ■