1.6.4. Теорема (необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче).

Пусть функционал от вектор-функции

(6)

определенный на множестве функций где , удовлетворяющих краевым условиям

(7)

и интегральным условиям связи

(8)

где заданные числа ( не требуется), имеет в допустимой точке экстремум.

Тогда существуют такие числа что функция является экстремалью вспомогательного функционала

интегрантом которого является функция Лагранжа

(числа называются множителями Лагранжа).

? Сведем изопериметрическую задачу к задаче Лагранжа. Введем функции , и будем рассматривать функционал (6) как функционал от мерной вектор-функции

(9)

(который от фактически не зависит), определенный на множестве функций где (так как функции непрерывны по , то непрерывны на , т.е.

(10)

и условиям связи

т.е. дифференциальным условиям связи

(11)

где

Таким образом, если функция удовлетворяет краевым условиям (7) и интегральным условиям связи (8), то функция удовлетворяет краевым условиям (10) и дифференциальным условиям связи (11). При этом, если при функционал (6) имеет экстремальное значение , то при , где функционал (9) имеет экстремальное значение (то же самое) (так как функционал не содержит ).

Итак, если является решением изопериметрической задачи (6)-(7)-(8), то является решением задачи Лагранжа (9)-(10)-(11) и можно применить теорему 1.6.1.

Матрица Якоби

имеет, очевидно, ранг, равный (числу условий связи), так как минор -го порядка .

Условия теоремы 1.6.1 выполнены. Значит, функция

является экстремалью вспомогательного функционала с интегрантом

, где - множители Лагранжа. Это означает, что функция удовлетворяет системе уравнений Эйлера

Здесь

Кроме того,

.

Таким образом, существуют постоянные числа такие, что выполнены уравнения Эйлера для функции Лагранжа :

(после подстановки ; здесь не участвуют). ■