29. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия для функции двух переменных.
1)Необходимое условие экстремума:т. М0(х0,y0)наз-ся т. max(min) ф-ии Z=f(x,y)если #8707; U(M0)такая,что f(x0,y0)#8805;(#8804;)f(x,y) М(х,y) #8712;U(M0)
Теорема(необходимое условие экстремума):Пусть т.М0(x0,y0)-точка экстремума,дифференцируемой ф-ии Z=f(x,y),тогда fx(x0,y0)=0 и fy (x0,y0)=0.(1)
Замечание:Условие (1) условию dz=0,т.к, dz=f
x*dx+f
y*dy
Док-во:Пусть т.М0-точка mаx.Фиксируем одну из переменных, напр.y, полагая y=y0,тогда ф-ия Z1=f(x,y0)-ф-ия одного аргумента, кот-ая имеет mаx при х=х0.
По теореме Ферма,в этом случае Z

Аналогично доказывается,что fy(x0,y0)=0
Точке,в кот-х выпол-ся условие (1) наз-ся стационарными или критическими (подозрительными на экстремум).
Для исследования стационарных точек,нужны достаточные условия.
2)Частные производные высших порядков.
Если ф-ия Z=f(x,y)-дважды дифференцируема и fx=
; f
y
-первые частные производные.Они явл-ся ф-ми двух аргументов, поэтому каждое из первых частных производных,соответственно имеет по две частные производные
-2ая чистая производная по х
-2ая чистая производная по y
-вторые смешанные производные
Утверждение:Если частные производные второго порядка непрерывны в точке (x0,y0),то f ‘’xy(x0,y0)=f ‘’yx(x0,yo)
3)Достаточное условие экстремума ф-ии двух переменных.
Пусть ф-ия Z=f(x.y):а)определена в некоторой окрестности U(M0), M0(x0,y0) причем f '(x) в т.M0 так же как и f ‘y(M0)=0(М0-стационарная т.)
б)имеет в т.М0 непрерывные частные производные 2го порядка:
Тогда,если AC-B2gt;0, то в M0 есть экстремум:а)при Аgt;0 –min;б)при Аlt;0-max;
При AC-B2lt;0,экстремума в M0 нет, При AC-B2=0-получаем сомнительный, неопред-й случай,т.е экстремумом в т.М0 может быть или не быть.
Схема исследования ф-ии двух переменных на экстр.:1)Найти частные производные по ф-ии;2)Решить систему уравнений , т.е определить стационарные точки;3)Найти частн произв 2 порядка.Подставить координаты каждой критич. точки в эти производные и с помощью достаточного усл-я сделать вывод о наличии экстремума;4)Найти экстремал-ые знач-я ф-ии.