29. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия для функции двух переменных.

1)Необходимое условие экстремума:т. М0(х0,y0)наз-ся т. max(min) ф-ии Z=f(x,y)если #8707; U(M0)такая,что f(x0,y0)#8805;(#8804;)f(x,y) М(х,y) #8712;U(M0)

Теорема(необходимое условие экстремума):Пусть т.М0(x0,y0)-точка экстремума,дифференцируемой ф-ии Z=f(x,y),тогда fx(x0,y0)=0 и fy (x0,y0)=0.(1)

Замечание:Условие (1) условию dz=0,т.к, dz=fx*dx+fy*dy

Док-во:Пусть т.М0-точка mаx.Фиксируем одну из переменных, напр.y, полагая y=y0,тогда ф-ия Z1=f(x,y0)-ф-ия одного аргумента, кот-ая имеет mаx при х=х0.

Аналогично доказывается,что fy(x0,y0)=0

Точке,в кот-х выпол-ся условие (1) наз-ся стационарными или критическими (подозрительными на экстремум).

Для исследования стационарных точек,нужны достаточные условия.

2)Частные производные высших порядков.

Если ф-ия Z=f(x,y)-дважды дифференцируема и fx=; fy-первые частные производные.Они явл-ся ф-ми двух аргументов, поэтому каждое из первых частных производных,соответственно имеет по две частные производные

-2ая чистая производная по х

-2ая чистая производная по y

-вторые смешанные производные

Утверждение:Если частные производные второго порядка непрерывны в точке (x0,y0),то f ‘’xy(x0,y0)=f ‘’yx(x0,yo)

3)Достаточное условие экстремума ф-ии двух переменных.

Пусть ф-ия Z=f(x.y):а)определена в некоторой окрестности U(M0), M0(x0,y0) причем f '(x) в т.M0 так же как и f ‘y(M0)=0(М0-стационарная т.)

б)имеет в т.М0 непрерывные частные производные 2го порядка:

Тогда,если AC-B2gt;0, то в M0 есть экстремум:а)при Аgt;0 –min;б)при Аlt;0-max;

При AC-B2lt;0,экстремума в M0 нет, При AC-B2=0-получаем сомнительный, неопред-й случай,т.е экстремумом в т.М0 может быть или не быть.

Схема исследования ф-ии двух переменных на экстр.:1)Найти частные производные по ф-ии;2)Решить систему уравнений , т.е определить стационарные точки;3)Найти частн произв 2 порядка.Подставить координаты каждой критич. точки в эти производные и с помощью достаточного усл-я сделать вывод о наличии экстремума;4)Найти экстремал-ые знач-я ф-ии.