<<
>>

4.4. Экстремум функции двух независимых переменных.

Говорят, что функция z = f(x, y) имеет максимум в точке М0(х0, у0), если f(x0, y0) > f(x, y) и минимум, если f(x0, y0) < f(x, y) для всех точек, достаточно близких к М0 и отличных от нее.

Максимум и минимум называют экстремумами функции. Экстремумы можно определить и иначе: Положим х = х0 + Dх и у = у0 + Dу, тогда f(х + Dх, у + Dу) – f(х0, у0) = Df. Если Df > 0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция f(x, y) достигает минимума в точке М0. Если Df < 0 при всех достаточно малых приращениях аргументов, то функция f(x, y) достигает максимума в точке М0.

Определения эти справедливы для функций любого числа переменных. Необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

Если функция z = f(x, y) достигает экстремума при х = х0, у = у0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, если функция z = f(x, y) имеет в некоторой точке М0(х0,у0) экстремум, в этой точке имеют экстремум и функции одной переменной z = f(х0, у) и z = f(х, у0) и, соответственно, их производные и в этой точке или равны нулю или не существуют. Точки, в которых выполняются эти условия, называются критическими, и в этих точках может быть (а может и не быть) экстремум. Критические точки, в которых zx` = 0 и zу` = 0 называют стационарными. О наличии экстремума в стационарных точках можно во многих случаях судить на основании следующей теоремы:

Если в некоторой области, содержащей точку М0(х0, у0), функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и точка М0 является стационарной, то в этой точке:

Функция имеет максимум, если D > 0, а A < 0 или (C < 0)

Функция имеет минимум, если D > 0, а A > 0 или (C > 0)

Функция не имеет экстремума, если D < 0

Если D = 0 – сомнительный случай, требуется дополнительное исследование.

(4.12) , где:

Контрольные вопросы.

1) Сформулируйте необходимое условие экстремума функции z=f(x,y).

2) При каких условиях функция z=f(x,y) имеет максимум, минимум и при каких условиях не имеет экстремума?

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 4.4. Экстремум функции двух независимых переменных.:

  1. § 51. Функции двух переменных, их графическоеизображение
  2. § 53. Экстремум функции нескольких переменных
  3. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  4. Приложение I (для коммунистов): "Перлы" диалектики марксизма
  5. Содержание часть 1
  6. 4.1. Основные определения. Частные производные. Дифференциалы.
  7. 4.4. Экстремум функции двух независимых переменных.
  8. 4.6. Условный экстремум функции нескольких переменных.
  9. Вопросы для самопроверки.
  10. Содержание
  11. Экстремум функции многих переменных
  12. Независимая переменная
  13. Планы для одной независимой переменной и нескольких групп
  14. Функции двух переменных
  15. Факторное планирование позволяет оценивать линейные эффекты взаимодействия при большом числе независимых переменных...
  16. 13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.
  17. Геометрическая теория уравнений 1-го порядка в случае двух независимых переменных
  18. Уравнения 1-го порядка в случае n независимых переменных
  19. Определение предела функции двух переменных.