4.4. Экстремум функции двух независимых переменных.

Говорят, что функция z = f(x, y) имеет максимум в точке М0(х0, у0), если f(x0, y0) > f(x, y) и минимум, если f(x0, y0) < f(x, y) для всех точек, достаточно близких к М0 и отличных от нее.

Определения эти справедливы для функций любого числа переменных. Необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

Если функция z = f(x, y) достигает экстремума при х = х0, у = у0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, если функция z = f(x, y) имеет в некоторой точке М0(х0,у0) экстремум, в этой точке имеют экстремум и функции одной переменной z = f(х0, у) и z = f(х, у0) и, соответственно, их производные и в этой точке или равны нулю или не существуют. Точки, в которых выполняются эти условия, называются критическими, и в этих точках может быть (а может и не быть) экстремум. Критические точки, в которых zx` = 0 и zу` = 0 называют стационарными. О наличии экстремума в стационарных точках можно во многих случаях судить на основании следующей теоремы:

Если в некоторой области, содержащей точку М0(х0, у0), функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и точка М0 является стационарной, то в этой точке:

Функция имеет максимум, если D > 0, а A < 0 или (C < 0)

Функция имеет минимум, если D > 0, а A > 0 или (C > 0)

Функция не имеет экстремума, если D < 0

Если D = 0 – сомнительный случай, требуется дополнительное исследование.

(4.12) , где:

Контрольные вопросы.

1) Сформулируйте необходимое условие экстремума функции z=f(x,y).

2) При каких условиях функция z=f(x,y) имеет максимум, минимум и при каких условиях не имеет экстремума?