Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю 
, либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
– максимум, если 
– минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Еще по теме Экстремум функции нескольких переменных.:
- 4.6. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- § 53. Экстремум функции нескольких переменных
- Экстремум функции нескольких переменных.
- Классическая задача программирования. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия локального условного экстремума функций нескольких переменных.
- Локальный экстремум функции. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в критической точке при отсутствии ограничений.
- Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
- Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
- 29. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия для функции двух переменных.
- 4.4. Экстремум функции двух независимых переменных.
- 10. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Дифференцирование функции одной переменной, заданной неявно.
- Экстремум функции многих переменных
- Функции нескольких переменных
- Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
- Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
- Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
- 15. Локальный экстремум функции. Необходимое условие безусловного экстремума дифференцируемой функции.