13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.
ДУ в частных производных называется соотношение, связывающее независимые переменные, искомые функции и ее частные производные.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение наз.
порядком ДУ.Уравнения в частных производных также имеют бесконечное множество решений. Однако оно в своем решении имеет не производную константы, а производную функции.
uxy= 0, ux=С+φ(х), u=Cx+∫φ(x)dx+ψ(y)
φ(х) – некоторая производная функция от х
ψ(y) - некоторая производная функция от у
Уравнение называется квазилинейным относительно старших производных, если оно имеет вид:
где а11,а 12,а 22 являются функциями х и у.
Обозначим за ▲= а 122-а11 а 22 – (дискриминанта)
Уравнение будет называться в т. М области ХОУ:
1) Гиперболического типа, если в т. М ▲>0;
2) Параболического типа, если в т. М ▲=0;
3) Элептического типа, если в т. М ▲0, то рассматриваемое уравнение в этой области называется гиперболического типа. Аналогично формулируются определения ур-ний параболического и элептического типов.
Если в одних точках области уравнение имеет один тип, а в других точках другой тип, то во всей области уравнение наз. уравнением смешанного типа. Тип уравнения не меняется при преобразовании уравнения с помощью замены переменных.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uxy, uyy, так и относительно функции u и ее первых производных ux, uy .
Уравнения 2 порядка играют особую роль в физике и технике, т.к. они выражают законы сохранения некоторых величин (массы, энергии, кол-ва движения и т.д.), изменения которых выражаются во многих случаях через производные 1 и 2 порядка.
Опр: Решением ДУ наз. такая функция u(x,y), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.