<<
>>

13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.

ДУ в частных производных называется соотношение, связывающее независимые переменные, искомые функции и ее частные производные.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение наз.

порядком ДУ.

Уравнения в частных производных также имеют бесконечное множество решений. Однако оно в своем решении имеет не производную константы, а производную функции.

uxy= 0, ux=С+φ(х), u=Cx+∫φ(x)dx+ψ(y)

φ(х) – некоторая производная функция от х

ψ(y) - некоторая производная функция от у

Уравнение называется квазилинейным относительно старших производных, если оно имеет вид:

где а111222 являются функциями х и у.

Обозначим за ▲= а 12211 а 22 – (дискриминанта)

Уравнение будет называться в т. М области ХОУ:

1) Гиперболического типа, если в т. М ▲>0;

2) Параболического типа, если в т. М ▲=0;

3) Элептического типа, если в т. М ▲0, то рассматриваемое уравнение в этой области называется гиперболического типа. Аналогично формулируются определения ур-ний параболического и элептического типов.

Если в одних точках области уравнение имеет один тип, а в других точках другой тип, то во всей области уравнение наз. уравнением смешанного типа. Тип уравнения не меняется при преобразовании уравнения с помощью замены переменных.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uxy, uyy, так и относительно функции u и ее первых производных ux, uy .

Уравнения 2 порядка играют особую роль в физике и технике, т.к. они выражают законы сохранения некоторых величин (массы, энергии, кол-ва движения и т.д.), изменения которых выражаются во многих случаях через производные 1 и 2 порядка.

Опр: Решением ДУ наз. такая функция u(x,y), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

<< | >>
Источник: Ответы на вопросы к экзамену по математической физике. 2017

Еще по теме 13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.:

  1. 13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.