Геометрическая теория уравнений 1-го порядка в случае двух независимых переменных

В данном разделе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида: (1)

(квазилинейное уравнение), где коэффициенты a(x,y,v), b(x,y,v), с(x,y,v) – непрерывные функции своих аргументов, имеющие и непрерывные частные производные.

Геометрически решение этого уравнения v=v(x,y) будем изображать в виде некоторой поверхности. Рассмотрим на интегральной поверхности точку Р и продифференцируем функцию v по любому касательному направлению в этой точке. Запишем дифференциал dv=v’_xdx+v’_ydy. Это выражение удобно переписать в виде v’_xdx+v’_ydy+(-1)dv=0.

Введем обозначение Монжа (франц. математик) , .

Тогда предыдущее выражение перепишется в виде pdx+qdy+(-1)dv=0. Перепишем как скалярное произведение (p,q,-1)(dx,dy,dv)=0.

Так как dx,dy,dv – проекции бесконечно малого касательного вектора в точке Р, и этот вектор - произвольный касательный вектор в этой точке, то из равенства нулю скалярного произведения следует, что вектор (p,q,-1) – нормаль к поверхности в точке Р.

Запишем уравнение (1) в обозначениях Монжа: ap+bq+c(-1)=0. Или, рассматривая как скалярное произведение найдем: (a,b,c)(p,q,-1)=0. Откуда видно, что если v(x,y) – решение нашего уравнения, то нормаль к интегральной поверхности в каждой точке пространства x,y,v должна быть ортогональна вектору (a,b,c) заданному в этой точке. Таким образом, д. у. (1) накладывает на интегральную поверхность единственное требование: в каждой точке нормаль к интегральной поверхности должна быть ортогональна заданному в этой точке вектору (a,b,c).

Если в точке Р провести касательную плоскость к интегральной поверхности, то нормаль к интегральной поверхности будет также и нормалью к касательной плоскости.

Очевидно, что трехмерному вектору (a,b,c) можно провести бесконечное однопараметрическое множество нормалей и соответствующее бесконечное множество допустимых касательных плоскостей к интегральной поверхности. Введенное нами множество касательных плоскостей называется пучком Монжа, а вектор (a,b,c), который они все пересекают, называется осью Монжа. Аналогия

, - tg угла наклона в каждой точке.

Ищем поверхность, которую в каждой точке касается вектор (a,b,c).

Рассмотрим в некоторой точке пространства (x,y,v) бесконечно малый вектор (dx,dy,dv), коллинеарный в этой точке вектору (a,b,c). У коллинеарных векторов проекции пропорциональны и можем записать:

Эти три равные величины обозначим dS. Разделив эти три равенства на dS, получим 3 дифференциальных уравнения:

, , (2)

Мы получили три д.у., которые называются уравнениями характеристик для д. у. (1). Всякое решение этой системы дифференциальных уравнений:

(3)

замечательно тем, что по построению, в каждой точке кривые (3) касаются вектора (a,b,c) (зависят еще от начальных условий).

Всякая поверхность v=v(x,y), которую можно покрыть однопараметрическим множеством характеристик (построить из однопараметрического множества характеристик) является интегральной поверхностью уравнения (1).

Обратно: всякую интегральную поверхность можно покрыть однопараметрическим множеством характеристик.

Докажем первую часть теоремы:

Проведем в пространстве некоторую кривую, которую зададим параметрически. И потребуем, чтобы эта кривая ни в одной точке не касалась вектора (a,b,c). Из каждой точки этой кривой проведем с помощью д. у. (2) характеристики:

Если, построенное таким образом однопараметрическое множество характеристик образует поверхность, то эта поверхность будет интегральной. Действительно, рассмотрим произвольную точку Р на этой поверхности. Через эту точку проходит некоторая характеристическая кривая (по построению), которая в точке Р касается соответствующего вектора (a,b,c). В этом случае нормаль к построенной поверхности в данной точке будет одновременно и нормалью к характеристике, и, следовательно, нормалью к вектору (a,b,c), откуда следует, что построенная поверхность удовлетворяет в данной точке единственному требованию, которое накладывает д. у. (1) на интегральную поверхность. И так для каждой точки построенной поверхности, откуда следует, что поверхность является интегральной.

Докажем вторую часть теоремы:

Нам задана интегральная поверхность v=v(x,y). Мы докажем данную теорему, если покажем, как ее можно покрыть однопараметрическим множеством характеристик. На плоскости x,y построим с помощью дифференциальных уравнений:

, (4)

в правые части которых подставлена функция v=v[x(S),y(S)], однопараметрическое множество кривых, проходящих через кривую С.

Через каждую такую кривую проведем цилиндрическую поверхность (образующие которой параллельны оси v) до пересечения с интегральной поверхностью. Вдоль кривой на интегральной поверхности выполняются дифференциальные уравнения (4). Кроме того, дифференцируя функцию v (она задана) вдоль полученной кривой, найдем:

, подставим из (4): .

И так как поверхность является интегральной, то в силу д. у. (1) вдоль построенной кривой выполняются уравнения (4) и уравнение (5).

Нетрудно видеть, что они совпадают с уравнениями (2) и, таким образом построенная кривая является характеристикой. Ясно, что таким образом можно покрыть всю поверхность однопараметрическим множеством характеристических кривых.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1)

Пусть на плоскости x,y параметрически задана кривая x=x(t), y=y(t). t – параметр вдоль кривой, и пусть в каждой точке этой кривой задана функция v=v(t). Полученная таким образом кривая С представляет собой пространственную кривую заданную параметрически.

Для дальнейшего потребуем, чтобы функции x(t), y(t), v(t) были непрерывными вместе со своими первыми производными.

Задача Коши: заключается в нахождении решения уравнения (1), которое принимает заданное значение v(t) на кривой C. Другими словами требуется найти в окрестности C’ интегральную поверхность, проходящую через кривую С.

Для построения решения воспользуемся характеристиками

, , (2)

Решая уравнение (2) из каждой точки кривой С выпустим характеристику.

,

(t входит через начальные данные). Эти уравнения можно решить относительно параметров S и t: , .

Подставим найденные решения в функцию v: .

Однако, разрешить уравнение относительно S и t не всегда возможно.

Заменим дифференциалы малыми конечными приращениями. Обозначим индексом «0» значения величин на начальной кривой C:

или .

Условие разрешимости полученной системы относительно S и t – это неравенство нулю определителя из коэффициентов при S и t:

, или .

Так как x’_S=a, и y’_S=b, то (3).

Таким образом, если выполняется условие (3) на начальной кривой (а в силу непрерывности входящих в якобиан величин он будет неравен нулю в некоторой окрестности начальной кривой), то мы можем в окрестности начальной кривой найти поверхность v=v(x,t) проходящую через эту кривую. Продифференцируем эту поверхность вдоль любой характеристики:

Используя уравнения характеристик, получаем .

Таким образом, видим, что построенная поверхность удовлетворяет д. у. (1), и, следовательно, является его решением.

Рассмотрим теперь случай, когда якобиан (3) равен нулю: , а решение v=v(x,y) при этом существует. Покажем, что в этом случае начальная кривая сама является характеристикой.

Перепишем якобиан в виде: . Сократим на dt и поделим на ab , откуда получим два уравнения , (*).

Так как решение задачи по предположению существует, то функция v(x,y) выполняется и на начальной кривой, и, следовательно, можем дифференцировать эту функцию вдоль начальной кривой:

Или, воспользовавшись уравнением характеристик:

, v есть решение уравнения (1). (**).

Равенства (*) и (**) говорят о том, что начальная кривая будет характеристикой.

Далее покажем, что в случае, когда якобиан равен нулю, решений существует бесконечно много. Пусть задана начальная кривая C, которая является характеристикой. На ней Δ=0 и решение существует. Требуется найти интегральную поверхность, проходящую через кривую C. Проведем любую кривую С₁, которая пересекает нашу кривую в некоторой точке, и на которой якобиан нигде не равен нулю. Как было показано выше, задача Коши для С₁ разрешима и мы методом характеристик можем построить интегральную поверхность. Так как коэффициенты a,b,c являются непрерывными функциями, то задача Коши для о. д. у. (2) имеет единственное решение. Откуда следует, что через точку пересечения кривых может проходить единственная характеристика, которая, очевидно, совпадает с кривой С. Таким образом, мы построили решение (если C не совпадет, то решение будет не единственно, что не так по условию).

Проведем через точку пересечения кривых С и С₁ кривую С₂, на которой тоже Δ≠0. Также как и в предыдущем случае можно построить интегральную поверхность, проходящую через кривую С. Ясно, что таким образом можно построить бесконечное множество поверхностей. Полученные результаты сформулированы в виде теоремы: Теорема

Если якобиан (3) на начальной кривой не равен нулю, то задача Коши для уравнения (1) разрешима единственным образом. В том случае, когда якобиан равен нулю на начальной кривой и решение существует, то это решение не единственно.