Вывод уравнения переноса
Вывод этого уравнения рассмотрим на примере вывода уравнения, которое описывает бесстолкновительное движение множества молекул в отсутствие внешних полей.
Рассмотрим некоторое множество молекул, находящихся в малом объеме dxdydz.
Среди этих молекул выберем подмножество таких, которые имеют близкие скорости, расположенные в диапазонах: [ux,ux+dux], [uy,uy+duy], [uz,uz+duz]. Введем функцию распределения молекул по скоростям f(x,y,z,ux,uy,uz,t) такую, чтобы произведение f(x,y,z,ux,uy,uz,t)dxdydzduxduyduz (*) давало нам число молекул находящихся в объеме dxdydz и имеющих близкие скорости из указанного выше диапазона, например:В равновесном случае число частиц в единице объема 
.
Шестимерное пространство x,y,z,ux,uy,uz называется фазовым пространством.
Объем dxdydzduxduyduz называется бесконечно малым объемом в фазовом пространстве.
Выделим в фазовом пространстве некоторую группу частиц, находящихся в малом объеме и обладающих близкими скоростями и будем следить за частицами этой группы. Так как столкновений нет, что число частиц в этой группе будет сохраняться (если бы столкновения были, то молекулы могли бы получить неблизкие скорости). В момент t число молекул можно посчитать по формуле (*). В момент t+dt координаты частиц изменятся, но так как отсутствуют столкновения и внешние поля, то скорости частиц останутся неизменными. Может измениться также и фазовый объем, который они занимают в момент t, поэтому в момент t+dt число этих частиц будет выражаться формулой:
(1)
новый объем 
.
Так как число частиц сохраняется, мы можем записать:
(**)
Покажем, что фазовый объем в нашем случае не изменяется. Для этого рассмотрим сначала, как изменяется проекция фазового объема. В момент t+dt точки A,B,C,D передвинутся. Нетрудно видеть, что получится параллелограмм, верхнее и нижнее основания которого равны dx, а высота dux. Площадь этого параллелограмма будет по-прежнему duxdx, то есть 
. Точно также можно показать и для других проекций 
, 
. Так как элементарный фазовый объем есть произведение этих величин, то он не изменится. Фазовые объемы слева и справа в (**) можно сократить:
.
Функцию в левой части равенства разложим в ряд по малым приращениям ее аргументов и, ограничиваясь малыми 1-го порядка, получим:
.
В оставшемся дифференциальном операторе можно вынести dt и на него сократить. В результате получим уравнение переноса
Это уравнение впервые получил Больцман (правда с учетом столкновения), применяется для описания кинетики.