Вывод уравнения переноса

Вывод этого уравнения рассмотрим на примере вывода уравнения, которое описывает бесстолкновительное движение множества молекул в отсутствие внешних полей.

Рассмотрим некоторое множество молекул, находящихся в малом объеме dxdydz.

В равновесном случае число частиц в единице объема .

Шестимерное пространство x,y,z,u_x,u_y,u_z называется фазовым пространством.

Объем dxdydzdu_xdu_ydu_z называется бесконечно малым объемом в фазовом пространстве.

Выделим в фазовом пространстве некоторую группу частиц, находящихся в малом объеме и обладающих близкими скоростями и будем следить за частицами этой группы. Так как столкновений нет, что число частиц в этой группе будет сохраняться (если бы столкновения были, то молекулы могли бы получить неблизкие скорости). В момент t число молекул можно посчитать по формуле (*). В момент t+dt координаты частиц изменятся, но так как отсутствуют столкновения и внешние поля, то скорости частиц останутся неизменными. Может измениться также и фазовый объем, который они занимают в момент t, поэтому в момент t+dt число этих частиц будет выражаться формулой:

(1)

новый объем .

Так как число частиц сохраняется, мы можем записать:

(**)

Покажем, что фазовый объем в нашем случае не изменяется. Для этого рассмотрим сначала, как изменяется проекция фазового объема. В момент t+dt точки A,B,C,D передвинутся. Нетрудно видеть, что получится параллелограмм, верхнее и нижнее основания которого равны dx, а высота du_x. Площадь этого параллелограмма будет по-прежнему du_xdx, то есть . Точно также можно показать и для других проекций , . Так как элементарный фазовый объем есть произведение этих величин, то он не изменится. Фазовые объемы слева и справа в (**) можно сократить:

.

Функцию в левой части равенства разложим в ряд по малым приращениям ее аргументов и, ограничиваясь малыми 1-го порядка, получим:

.

В оставшемся дифференциальном операторе можно вынести dt и на него сократить. В результате получим уравнение переноса

Это уравнение впервые получил Больцман (правда с учетом столкновения), применяется для описания кинетики.