§ 51. Функции двух переменных, их графическоеизображение

Если каждой nape значений двух независимых переменных из

некоторой области их изменения D по некоторому закону или правилу ставится в соответствие значение переменной z, то z называется функцией двух независимых переменных х и определённой в области Dt причём D называется областью определения или областью заданна функции.

Функция двух переменных обозначается так:

г = Да;, у)\ z ~ F(x, у); z = z(x,y).

Так как каждой паре соответствует точка из области D

на плоскости и наоборот, то вместо соответствия нар чисел (х, у) и значения z можно рассматривать соответствие между точками М(х,у) из Л н значеннями z, т.е. переменную z можно рассматривать как функцию переменной точки М{Х)У) н обозначать z = /(М). Такое обозначение удобно тем, что оно годнтса для функции любого числа независимых переменных. Так, например, если каждой точке M(x,y>z) некоторой области D трёхмерного пространства по определённому закону нли правилу ставится в соответствие значение переменной W, то W называется функцией переменной точки {или, что то

же самое, функцией независимых переменных х} у, z).

Функции двух независимых переменных допускают геометрическую интерпретацию, т, е. нх можно изображать графиками, а функции трёх и большего числа независимых переменных изобразить с помощью графика невозможно.

Рассмотрим функцию двух переменных г= /(х,у). Каждой точке М(х,у) (или каждой паре из области D соответствует опре-

делёиное значение переменной z — f(x,y), Таким образом, тройка чисел хуу, z — f(x>y) в пространстве определяет единственную точку.

Особую роль при изучении функции нескольких переменных играет множество точек из области определения функции, в которых она принимает одно и то же числовое значение. Для функции двух переменных совокупность утнх точек представляет собой линию, называемую линией уровня. Чтобы найти уравнение линии уровня функции z — /(Я, У), достаточно положить z = Zq И построить график /(Я,У) = — zq, Геометрическая линия уровня представляет собой проекцию на плоскость Оху линии пересечения графика функции с плоскостью г ^ Таким образом, линия уровня есть совокупность всех точек грл< фика функции z = f(x,y)t лежащих з одной и той же горизонтальной плоскости (т. е. лежащих на одном уровне).

Для функции трёх переменных множества точек, в которых функция принимает одно и то же значение, могут составлять поверхности, называемые поверхностями уровня.

Задача 1. Найти области определения и построить графики функций:

a) z = х2 + у2; б) г — yjB? — х2 - у2; в) z = у/х2 Ч- у2 - а2 . РЕШЕНИЕ.

а) функция z = х2 + у7 определена при всех значениях хит/, т. е. —со < х < +оо; —оо < у < 4-оо. Её график есть поверхность второго порядка, называемая параболоидом вращения. Параболоид вращения - поверхность, получаемая вращением параболы у2 = 2pz вокруг оси Oz. Его уравнение; х1 4- V2 — 2pz (см. рис. 130).

б) функция z = у Я2 — Xй - у2 определена лишь для неотрицатель* ных значений подкоренного выражения, т.с, для значений хну, удо-влетворяющих неравенству R2 — х2 — у2 ^ 0 или х2 + у2 ^ Я2„ которое выполняется во всех точках, лежащих на окружности + у2 — R2 и внутри ее. Графиком этой функции является поверхность второго порядка, представляющая собой верхнюю половину сферы (см. рис, 131)

в) функция z — \/х2 + у2 — а* определена при х2 -h у2 - а2 ^ О или х2 + у > а2. Это выполняется во всех точках, лежащих на окружности, и во всех точках плоскости вне окружности.

вокруг оси Oz. Его уравнение имеет вид:

Однополостиьтй гиперболоид вращения — это поверхность, полученная от вращения гиперболы

4}2 Функции нескольких переменных j Гд. V;t

X

6) функция z ~ — у определена при любых конечных значениях х и у\ множеством значений функции будет неограниченный промежуток — ос < z < +оо. Бозьмем какое-либо значение ZQ> АИНКЯ

уровня определяется уравнением —— у2 = Пусть zg > О, тогда

4

уравнение линии уровня можно записать в виде:

2 2 * - V = 1

Это уравнение определяет гиперболу с осью абсцисс в качестве вещественной оси и с асимптотами

6 , 1 у = ±~ х - ±- х. Л 2

При отрицательных ZQ уравнение линии уровня имеет вид

Vі ,. • =

(2 v^)3

Это есть гипербола с осью ординат в качестве асщественной оси с теми же асимптотами. Наконец, при zq = 0 уравнениями линий уровня будут

прямые у — - а; и У = — х, совпадающие с асимптотами гипербол.

Лг ju

Задача 3. Найти поверхности уровней функции: a) w — х — у — z\ 6} ш^^ + ^-і-г2. Решение.

а) функция мі = х — у — z определена при любых значениях неза висимых переменных .т, у, z и принимает все значения из неограни-ченного промежутка — оо < VJ < 4-оо. Положив w равным г^о, получим плоскость х ¦— у — z = WQ,

Следовательно, поверхностями уровня данной функции будут параллельные плоскости х — у — z — гио

б) функция w — х2 + у2 + z5 определена при любых значениях независимых переменных и принимает все неотрицательные значения 0 ^ < ги < Возьмём какое-либо положительное значение WQ, получим поверхности уровня х2 + у2 г2 — г«о, которые представляют собой семейство сфер с центром в начале координат.

к

§ 52, Частные производные первого и высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных