Вопросы для самопроверни

а) первообразной функцией;

б) неопределённым интегралом?

Сформулируйте основные свойства неопределённого интеграла.

Перечислите основные методы интегрирований функции.

Как интегрировать неправильную дробь?

Почему, когда используется формула интегрирования по частям J гtdv — u'v — ^v du при вычислении интеграла J dv = v, не надо

писать произвольную постоянную С?

Прн интегрировании каких функций используется метод неопределённых коэффициентов?

Как интегрируются иррациональные функции?

S.

J^a+fa7*)"^?

9. Каковы методы интегрирования простейших тригонометрических функций?

Какие интегралы называются неберущимися?

Что называется интегральной суммой функции f{x) на отрезке [а, Ь]?

Что называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [а, Ь]?

Геометрический смысл определённого интеграла.

Сформулируйте основный свойства определённого интеграла.

404

і5 Выведите формулу Ньютона-Лейбница.

Укажите основные методы вычисления определённого интеграла.

Какие геометрические величины можно вычислять с помощью определённого интеграла? Напишите основные формулы и приведите примеры,

18 Какие интеграл ы называются несобственными интегралами и как они вычисляются?

Упражнения

ъ

1. Найти следующие интегралы:

dx.

2. + +*)<** iff-*-'

: v/ї I -t- sin'' X

20J

1 + snr x

cos 2x

dx. 6,

f 1 + 7a? • ,

J 1 - COS X J 1 —

J +

7. Г8 [(z+10}^, 9. 10. f-^.

J 1 + x J J Ins і l+x

il.fH^d,. 12. \cx oose^ dx. 13, [ -?* і 1-х* J J L+ea

14, Jcoslnx^. 15. Jcoaxe6]nxdx. 16. Jxe^ dx,

dx

3f

dx

Г 1 + 1S Г (2.-3)^ г 19 [2^

JI +1+1 J лД3 - 3* +10 J V1 -

20.

21. f 22,[ , f .

a;3 rfi 1 Н-я"

cos x

«-Ira- z4

27.

г _2? +4ІІ j (г - !}(* +

30

(ІХн 31. f f ¦

J ?+ar

ar-t*

3)^-4)

J 3 + tfi5P J j cos x

vT+Tnx —-

X

. 37.

35, j sin4 3 cos xdx, 36, J

II, Вычислить следующие интегралы;

авЛугТ^чЬ. 39, } y^^-

о "іт/г о

405

dx

42.

41.

а; -4-

cos&a;siii2:i;cfc. 43, jx'lnsdsc.

111. Вычислить средние значення функций на указанных отрезках: 44, у = 46

. на fl; I] . 47. у -=х\пхнг [1; 2].

jt +х L

48' У ' а/,'_,чч Н3 t"27; 4] 49¦ ® - Ї+? НЭ Г0: 2]-

У^-х)

IV. Вычислить несобственные интегралы;

dx

ОС 00 j к

50. \е-**<Ь. 51. [ . 52. [

зг + 2х + 2

J J ху/х2 -1 J

о -о

— ОО

G4J

I

2а; da: 1 +х2

со

64

53,

. f xc-^dx. 55, [ 56. f

J J 1 + a?3 J

— СО

dx

dx

X 1112 X

— оо- 1 1

57.

^ - 1

58. | 59. J dx. 60. J

vx' о * о

V. Найти площади фигур, ограниченных кривыми: 61. ах = у2, ау — х2. 62. у — sin х, у — 0, при 0 ^ я ^ тт. 63. х2 + у2 = Я2, 64, у = Ъх} у2 ^ 9.г. 65. у = 4 - х2 у ^ 0. 66. х = у2 - + 6, х 0. 67. яг = a cos3 і, у — a sin^t.

VL Найти длины дуг следующих линий:

гзз з

68. хз + yz =«з. 69. у = х? при 0 < х ^ 12.

70, у — In і при >/3 ^ я: ^ V8.

Vii, Найти объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Ох, следующих фнгур:

7Ї . у = си&х, 0 < х < 72. х « о cos3 і, у — a sin3 і.

а) у = х2 0 < j: < 1; б) z2 + (у - 2)г = 2.

VIU. Н антн объёмы тел, ограниченных следующими поверхностями:

г® + 8 - t, г2 + у2 + = 8г.

x2 + y2~z2, Xі -\ y2^z.

J 2+y2±z2 = 2 .r+j/^j,

77- г3 + у1 + г2 - 12. x2 + у2 = г' - 4.

406

Omecfnut

Ответы

1-і

4. s — ctg a: + C.

lit 5 '

I . C - 2.x - jU* +C, 3. 4-7

faxctgtf. 7.ln(l+a; ) H-C,

5, С + ^ - ctg a;), 6. С - - ¦

8.

Jm'

18. 2Vx'2 - 3s -^lO + C.

17.

19, ^атсзіп^ + С. 20. ^ aresiri а + С. 21. і arcsin ^Іі Н-С. In 2 4 З д/з

22. -L iurctg + С 23. і + 4 In - 3| Н С.

24. | з - I 1п|3п;+2| + С. 25, С -f ~ - ^ + s - In + 1|, 3 9 v л

26. 2х cos х 4* (a; ~2)smi + С. 27. С — еГ*{х2 + 2а; + 2). 28, х arctg х — \ 1п(1 + хЛ) -+> С. 29. ? агсзіп г + i/l х2 + С.

30, In

(х + З)7

+ а 31. arctg ^ + С.

2а а'

^(я - 31д [ яш х -Н 3сой+ С.

§ -\sm2x+ ~sin4.x + C =

О Ч

34, ^ ifx + \ tg1 i + t+ 35. I sin5 x + C,

у и О

36

. C-hn|3 + 5ooea:|. 37. С-ь ^(14-Ья)3". 38. | (2л/2 - l).

J «її о

39.2. 40.2-5 41A In f. 42, 43.

2 І 5 7 4

46. 2InT- 47. 2 ln2 ~ 7 о 4

48. 49. ln^-y. 31 l + e2

44. ». 45. <

9 3ir

БО. і 51.

4 4

52. 7Г. 53. 0. 54. і. 55. -4=-, G6. 57. 1,

2 \/3 3

58, Расходится. 59, %er\ 60. Расходится. 61, ^a2. 62.2.

63, тгИ2. 64.0,5. 65.^. 66. 67. 68,6л.

Зой