Вопросы для самопроверни
а) первообразной функцией;
б) неопределённым интегралом?
Сформулируйте основные свойства неопределённого интеграла.
Перечислите основные методы интегрирований функции.
Как интегрировать неправильную дробь?
Почему, когда используется формула интегрирования по частям J гtdv — u'v — ^v du при вычислении интеграла J dv = v, не надо
писать произвольную постоянную С?
Прн интегрировании каких функций используется метод неопределённых коэффициентов?
Как интегрируются иррациональные функции?
S.
Б каких случаях интегрируется дифференциальный биномJ^a+fa7*)"^?
9. Каковы методы интегрирования простейших тригонометрических функций?
Какие интегралы называются неберущимися?
Что называется интегральной суммой функции f{x) на отрезке [а, Ь]?
Что называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [а, Ь]?
Геометрический смысл определённого интеграла.
Сформулируйте основный свойства определённого интеграла.
404
і5 Выведите формулу Ньютона-Лейбница.
Укажите основные методы вычисления определённого интеграла.
Какие геометрические величины можно вычислять с помощью определённого интеграла? Напишите основные формулы и приведите примеры,
18 Какие интеграл ы называются несобственными интегралами и как они вычисляются?
Упражнения
ъ
1. Найти следующие интегралы:
dx.
2. + +*)<** iff-*-'
: v/ї I -t- sin'' X
20J
1 + snr x
cos 2x
dx. 6,
f 1 + 7a? • ,
J 1 - COS X J 1 —
J +
7. Г8 [(z+10}^, 9. 10. f-^.
J 1 + x J J Ins і l+x
il.fH^d,. 12. \cx oose^ dx. 13, [ -?* і 1-х* J J L+ea
14, Jcoslnx^. 15. Jcoaxe6]nxdx. 16. Jxe^ dx,
dx
3f
dx
Г 1 + 1S Г (2.-3)^ г 19 [2^
JI +1+1 J лД3 - 3* +10 J V1 -
20.
21. f 22,[ , f .
a;3 rfi 1 Н-я"
cos x
«-Ira- z4
27.
J dx. 28. j arctg xdx. 29. j axesin x dx. + 41;c - 91 t Г ? dxг _2? +4ІІ j (г - !}(* +
30
(ІХн 31. f f ¦
J ?+ar
ar-t*
3)^-4)
J 3 + tfi5P J j cos x
vT+Tnx —-
X
. 37.
35, j sin4 3 cos xdx, 36, J
II, Вычислить следующие интегралы;
авЛугТ^чЬ. 39, } y^^-
о "іт/г о
405
dx
42.
41.
а; -4-
cos&a;siii2:i;cfc. 43, jx'lnsdsc.
111. Вычислить средние значення функций на указанных отрезках: 44, у = . на fl; I] . 47. у -=х\пхнг [1; 2]. jt +х L 48' У ' а/,'_,чч Н3 t"27; 4] 49¦ ® - Ї+? НЭ Г0: 2]- У^-х) IV. Вычислить несобственные интегралы; dx ОС 00 j к 50. \е-**<Ь. 51. [ . 52. [ зг + 2х + 2 J J ху/х2 -1 J о -о — ОО G4J I 2а; da: 1 +х2 со 64 53, . f xc-^dx. 55, [ 56. f J J 1 + a?3 J — СО dx dx X 1112 X — оо- 1 1 57. ^ - 1 58. | 59. J dx. 60. J vx' о * о V. Найти площади фигур, ограниченных кривыми: 61. ах = у2, ау — х2. 62. у — sin х, у — 0, при 0 ^ я ^ тт. 63. х2 + у2 = Я2, 64, у = Ъх} у2 ^ 9.г. 65. у = 4 - х2 у ^ 0. 66. х = у2 - + 6, х 0. 67. яг = a cos3 і, у — a sin^t. VL Найти длины дуг следующих линий: гзз з 68. хз + yz =«з. 69. у = х? при 0 < х ^ 12. 70, у — In і при >/3 ^ я: ^ V8. Vii, Найти объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Ох, следующих фнгур: 7Ї . у = си&х, 0 < х < 72. х « о cos3 і, у — a sin3 і. а) у = х2 0 < j: < 1; б) z2 + (у - 2)г = 2. VIU. Н антн объёмы тел, ограниченных следующими поверхностями: г® + 8 - t, г2 + у2 + = 8г. x2 + y2~z2, Xі -\ y2^z. J 2+y2±z2 = 2 .r+j/^j, 77- г3 + у1 + г2 - 12. x2 + у2 = г' - 4. 406 Omecfnut Ответы 1-і 4. s — ctg a: + C. lit 5 ' I . C - 2.x - jU* +C, 3. 4-7 faxctgtf. 7.ln(l+a; ) H-C, 5, С + ^ - ctg a;), 6. С - - ¦ 8. Jm' 18. 2Vx'2 - 3s -^lO + C. 17. 19, ^атсзіп^ + С. 20. ^ aresiri а + С. 21. і arcsin ^Іі Н-С. In 2 4 З д/з 22. -L iurctg + С 23. і + 4 In - 3| Н С. 24. | з - I 1п|3п;+2| + С. 25, С -f ~ - ^ + s - In + 1|, 3 9 v л 26. 2х cos х 4* (a; ~2)smi + С. 27. С — еГ*{х2 + 2а; + 2). 28, х arctg х — \ 1п(1 + хЛ) -+> С. 29. ? агсзіп г + i/l х2 + С. 30, In (х + З)7 + а 31. arctg ^ + С. 2а а' ^(я - 31д [ яш х -Н 3сой+ С. § -\sm2x+ ~sin4.x + C = О Ч 34, ^ ifx + \ tg1 i + t+ 35. I sin5 x + C, у и О 36 . C-hn|3 + 5ooea:|. 37. С-ь ^(14-Ья)3". 38. | (2л/2 - l). J «її о 39.2. 40.2-5 41A In f. 42, 43. 2 І 5 7 4 46. 2InT- 47. 2 ln2 ~ 7 о 4 48. 49. ln^-y. 31 l + e2 44. ». 45. < 9 3ir БО. і 51. 4 4 52. 7Г. 53. 0. 54. і. 55. -4=-, G6. 57. 1, 2 \/3 3 58, Расходится. 59, %er\ 60. Расходится. 61, ^a2. 62.2. 63, тгИ2. 64.0,5. 65.^. 66. 67. 68,6л. Зой