§ 50. Геометрическое приложение определённого интеграла
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить площадь параболического сегмента, отсечённого от параболы у2 = ах (о > 0) прямой х — Ь (см. рис. %}-
Ре цз єн и е.
-Параболический сегмент ограничен сверху графиком кривой У2 = — ¦/ах, снизу графином кривой у\ = —\fax и справа прямой х — Ь. Имеем:
Пример 2. Найти площадь, ограниченную параболой у — х2 и прямой х 4- у — 2 — 0 (см. рис. 97).
Решение. Найдём абсциссы xi и х^ точек пересечения Ли В пря-мой аг-Ьу — 2 = 0и параболы у ¦ решая совместно эти уравнения. Имеем: х^ + х — 2 = 0, т.е. х: — -2, хч — I. Тогда
Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную параболами у = = 4 — х2, у = X2 - 2х (см. рис, 98),
Решение. Найдем абсциссы Яі и точек А и В пересечения параОол: 4-х7 — х2 — 2х х2 - х — 2 = Os = 2, Тогда
2
S [ {(4-х2) ~{хг-~2x)]dx = -і
2 ^ ,2 = J (4-2®a + 2ar) - S - f + 4 - [4 - (-1) - | (-I)3 + = 9. Пример 4, Вычислить площадь, ограниченную линиями у = — х2 — х, у = sin ъх, х — — ^. х = ™ (см. рис. 99)< hV Решение. Искомая площадь равна О L $ — J (х2 — х — sin irx) dx +¦ (яіпзгас — Xі + я)dx + -4 з/э + | С^-ш-ипиІЛ-і + і+І + і + І + і-і + і. Пример 5* Окружность я2 + у1 = S разделена параболой у2 = 2х на 2 части. Найти площадь обеих частей (см. рис, 100).
1TJ і д ї = \/2я
1 о Очі С х У ys-vft-*® 5 j— -V'25
Рис. і00 Решение. Пусть площадь заштрихованной части $і> неза штрихованной — причём S2 — 7tR2 - Si = Sir - Si. Найдём Si. На отрез ках OD и DC соответствующие криволинейные трапеции ограничены сверху и снизу кривыми, имеющими разные уравнения. S\ = SOADBO + SQACBD ~ ж О хс = j [v^ - + j [ye xa - ^--/8-л2^] dx. О Si5 ( Абсциссу хп найдём совместным решением уравнений окружности и параболы: у — & — ху2 = 2х\ отсюда 2х = 8 — х2 ИЛИІ1 + 2Ї-8 = 0, X} = —4} Х2 ~ 2 (хп ™ 2). Точка С есть пересечение окружности а:2 4- j/2 ¦=? 6 с осью Ох, поэтому — 8, хс (Зс > 0). Следовательно, = 2 dx + 2 \ у/&-х2 + 2J. ¦! 3 Для вычисления / воспользуемся результатом примера Имеем i + \ Xі / = — х2 dx — — tircsin 2у/2 = 4 ^arcsm 1 - aicsin j + і (ї^Д ¦ 0 - 2\/4 ) ^ тг - 2. Тогда Si - j + - 4 - 2тг + і; S2 - - (Зіг + І) = 6т - і. Заметим, что иногда удобно при вычислен ни площади плоской фигуры считать X как функцию у, т.е. x~tp(y). Тогда площадь плоской фигуры, ограниченной графиками кривых х = я-= V'^tv) {причём <р\{у) > ф-ііу)) и прямыми у = <*, у — ft, равна S = В нашем случае г -з 5-і = | ^-JfyG^+i^^-i^ -2 Приведём ещё два примера* когда удобно считать х как функцию у. I. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = Q + т, х — -у -3 = 0. Решение. VTi V3 V3 - бУз. V3 V5 D Отметим также, что при вычислении интегралов вида J [/(a;)|/Ju; а следует проявлять известную осторожность. Например: |/(®)\dx, если f(x) > 0 при а < х < с и ъ 1. Вычислить интеграл f(x) < 0 при с < х < Ь. ь | |/(ar)№it = j/(a;)ifc - J f(x) dx. 2n 2* yT+~cos2z dx = V2 j cos a;I (Jar — о о іг/2 Зтг/1 -V^ I cosidiih~V2 I cosztis + \/2 j cossete — о я/з 3*/2 ]2T Зпг з» = \/2 \/2 [l +1 + 1+1] = л sin a; I — emai L H-sinx j 3. Вычислить интеграл -r і г. ... /а»в-з(. 3/2 то Так как [2x — 3| = | ^ _ ^ ^ < g/2 з 3/2 з J \2х - 3| dx - (3 - 2т) dx + | (2х - 3) dx - о о з /7 О + * ~ 2 4 + 4 2 2 - 2 Пример 6. Р е ш е н и е. а а S = 43ь0а = 4 Jyя 2 ц, ^ 2 2 у (вычисление интеграла см. §41. пример 25).
VI ^— 1
\ 6 —ь
Рис. 103 2. Нахождение объёма тела по поперечным сечениям. Рассмотрим тело произвольной формы. Разобьём это тело на п частей плоскостями, перпендикулярными оси Ох. Пусть нзвестна площадь любого сечения. Эта площадь есть функция от я, т. е. S = iS(s). Пусть а и Ь означают абсциссы крайних сечений тела. Сумма объёмов всех получившихся цийиндроа (высота — Ах, площадь основания — где х < f < х -Р Ді) приближенно равна объёму рассматриваемого тела. Устремив максимальный Ах к нулю, при этом число разбиений п стремится: к бесконечности, получим для вычисления объёма тела следующую формулу (см. рнс, 104) г йзі 3 г Пример 7. Найти объём эллипсоида: ^ + ^ + ~ 376 3. Объём тела вращения. Пусть рассматриваемое тело получается от вращения данной кривой у ~ f(x) вокруг оси Ох. Поперечными сечениями в этом случае будут круги радиуса /(я), следовательно, $(х) - тгу = = ГГ/2{х) (см. рис. 106). Тогда Vx = п f2(x)dx, т.е. объём тела, получаемого при вращении J і а вскруг оси Ох части кривой у = /(г), заключённой между абсциссами х ~а ч х — Ь, выражается формулой; ? Q Уш — тт y*dx = it i /2(я) dx. - f —ft -а —а Аналогично при вращении вокруг оси Оу: d d о x2 dy — ъ "I 4. Длина дули плоской линии, Длина дуги кривой у = f(x) на отрезке [а,6[ (см. рис. 110) определяется формулой ^ — L = \\Jl + 'f{x)\2 dx и является пределом, к которому стремится интегральная сумма L± = її ^ Ait при стремлении maxAfi к нулю; ) —4 6k - = (f^/ ¦ Ьт и при Ахі 0 ^ -> где < & < Xti L — lim П1ЙХ jm Li = lirn У2 АЦ = lim T y'l + j'2 fa) Ax4 = b ______ = j \/ї+ /,2(х) <*r. Пример 11. Найти длину окружности х2 + у2 = R2. х2 R2 —х У- г ' у/В? - Л2 v = Jn /Ї -я то L - 4 f /П7^ dx = 4Я Г J J у'^^х і л 4Я orcein 4 = 4Д ¦ ? = 2ттД. rt I о 2. Заметим, что длина дуги эллипса н длина волны синусоиды не выражаются в конечном виде через элементарные функции, а определяются через специальные функции не берущиеся* интегралы), для которых составлены таблицы при различных значениях аргумента. 3S2 Действительно, пусть эллипс задан параметрическими уравнениями х = acosi, y = bsmt, О < тогда т/2 Х5 = j 4 dt & | Vo^slir? t -і- Ь2 cos21 dt = о 0 */2 sin2 і (fts 4b V'l + r^s 2 >,2 і a — « где с"5 = ¦ 72 . Длина дуги синусоиды у - с cose, 0 ^ я ^ 2тг равна 2« = J yf+liF ^ = 4 j Vl + c2^2® Получившийся интеграл т/а . -4- с2 cos2 f fit — [ d* - ( ^ j ^ HjvT = "j* VTT^- с2sin2tdt - (fc,ї), fc= <1, где ?{&,?>) = [ \fT~-~k2 зіи21 dt нааыпается эллиптическим интегралом о и через элементарные функции не выражается; для ник составлены таблицы при различных значениях к и tp. Пример 12. Найти длину линии у = 1па- от Xi = л/3 до x¦Л Vs a: L= I + I ^ V^J іД dz, Заменим v'T+ i" — тогда 2 < t ^ 3 и (ft = 1 t dt rfr — УІ+ x*dt _ tdtr I J" 1 -t t 3 f t2dt li1!3 z. = 1 +t 2 t* - 1 +1 j, . , 1, Пример 13, Вычислить площади плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными параметрически: а) у = бsinti у = 3, х — 2соь t, у > 3 (см. рис. П1); г/6 a) S, - | j (6stat-3)(-2eint)A = т/в -Л к/й У („а + со» И +ЛК)Л = 6 + ^ - V^) = 5їг/Є Пределы интегрирования (ij и І2) найдены из уравнения Gsinfc 3 5 т и равны ti ¦= гц-. ?з = ~g Зіг/2 6) & = j [у - 4) dx = 4 I [4(1 - cost) - 4](1 - cost) dt - ті Л/ - Зяг/2 16 j jj {1+ COS 2t) -сові dt = 6(7T + 4), тг/2 Пределы интегрирования ti = t^ = ^ найдены из уравнения 4 = — 4(1 - cosi)» COS4 = 0. b)Sb = 2 f 2\/2 sin11 12\/2 cos2 isiai) dt тг/З и и = -24 j Sin2 t sina 2t dt = -12 J (1 - co$2?) sin2 21 dt t./A it/A >r.-l— = -6 (t - і sin - I siti3 2t Пример 14, Найти длину дуги кривой. заданной параметрическн. а) х я= 4fa>s? +t sin t)r у = <1(зш t - ?creU), 0 ^ і ^ 2jt; б) і = с*(сач і -j- sin t), у - е*(со® ? - sin ?), 0 ^ і ^ ?r; e) i = (ia-2)!rint+ 2ecost, у (2-t2)cost + 2?&int, 0 ^ t ^ Решение. Если кривая задана в параметрической форме х = ^(і), У — У (О* h^t = dx = xr(t)dt> Длина дуги в этом случае її определяется формулой (х[ > 0) J (а Г—^ = x'tdt^^^ + y? dt. 384 h х = R він t, dx = Л cos ? dx, S = ii - I2 — Ц - l). Пример 18. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х2 4- + у2 ^ н s2 + у2 4- z2 ^ 2Дат. Решение. Совместное решен не уравнения конуса а;2 + = 3-z2 и шара г2 4* ї/3 ™ (г - - R2 да?т г - 0, г - - R (см. рис, 117). Искомый объём равен V = V2 — V]., где Л/2 R/2 тг/г3 8 1 R/2 Kl = | 5К ds = j + dz - j 3itz2dz = 0 0 0 SK — площадь поперечного сечения конуса, R/2 R/2 R/2 j j ir(x2+y2)dz = І x(2zR~z3)dt ^I^Jft и о — площадь поперечного сечении шара. Искомый объём равен 1/ — Я11. 12 Пример 19. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 — 5 — г н х2 4- у2 = 4z {см, рис, 118),
2. 5
Н / ч 1
0 X
у
Рис I1S Решение. Совместное решение уравнений двух параболоидов даёт 5 — z = 4z, z 1, Иском мй объём равен ¦U V = Vi+V2 = 7Ґ 4zdz + Jtt(5 - z)dz— Ютг, Пример 20. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 = и х2+у~ =2г2 -1 (см, рис. П9).
Z \ ¦
У \0 *х
Рис 119
г/ 1 1 хУУУУ/ \-Щ і 3 _ nj — т
У " 1 о
" у* = - 1 1
Рис. 120 Решение, Совместное решение уравнения конуса х^ у* = z1 и двухполостного гиперболоида х~ — 2z2 — 1 даёт z\ = 1, = —1. Искомый объём равен V — 2(УК — Vf), где объём конуса \ irR2h — о 1 h = 1, Я = 1, a Vr - j тг(2z* - 1) dz = | (л/2 - 1) , - -, так как 1 -71 тогда V Щ- (2 - у/2) . Пример 21« Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями = + уг = — 1 и і = 0, а также площадь этой фигуры (см,рис. и и К - 7Г | (у?" 1/1) da * | (Зс~аз: + 2е-т - - -in? -in а з „ 2е 1 --to 11 = т*- 2х + -ТЄ — п -іл а (J 0 1 .-"¦2т S — | (fft — = Йх — -h ~. — 1п2 Пример 22, Фигура ограничена линиями у = /(a:)t у = 0, х — х = Ь, В какой точке Мі(?ьуі) графика фуЕікцнн у = f(x) нужно провести касательную к нему так, чтобы она отсекала от фигуры трапеиню наибольшей площади? (см. §36), Решение, Уравнение касательной в точке Afi(asi,j/x) графика функции у = f(x) есть у — Дяі) — - ^i), а площадь трапеции равна о SV = | js/da; шш І{Ь- а) [/(**) +¦ I (Ь + а - 2*!)/'(*!)] | Из условия ^^ = 0 находим (xi — /"C^i) = далее см. § 36, Ответ: її — jft =в /(®i). Пример 23. Прн как ил значениях параметра А" площади ограни-ченная линиями, ]) у = х 4- 2х — 4 и у = kx\ 2) у будет наименьшей? Решение. Площадь фигуры, ограниченной линиями у =; аз2 + 4- Ьх н- с и у = кх +¦ bi, определяется формулой S | | (уг — yi) dx j = J J (foe + fci — ax2 -~bx — c)dx X) - j(®t - яг) [hi - с + ~ (fc - 6)(»1 + sa) - | (a? + ЦХ2 +®a)] J ' Предполагается, постоянные a, c, f>i такие, что прямая и парабола пересекаются, тогда точки пересечения находятся из уравнения ах2 -Ь + bx -h с ^ кх + bi или ах2 + х(Ь — fc) + с - Ец = 0. Отсюда х1,2 — k-b±sfD При ?> > О парабола и прямая пересекаются, D =0 парабола касается прямой а при D < 0 прямая проходит вне параболы, Подстааляя щ н хг в формулу для площади, после элементарных преобразований получим G а2 Таким образом, іш пришли к задаче с несколькими параметрами (о, с. А;, i>i), решение которой определяется условиями задачи. 389 dk 32 3 1) Пусть ух = х2 + 2а: - 4 н у2 = кх, Тогда S{k) - ~ {к2 - і + 20)3^s. Из уело Е! и я -гг = 0 находим, что площадь будет наименьшей при & = 2, а 5(2) — 2) Пусть = ж2 - 4 и у2 ^ кх + 3, тогда S(k) = і (Л2 + 28)3'* 54*) = о при Аг - 0, тогда S(0) = Щvf, Пример 24- Через данную точку М0(:со51/о). лежащей внутри параболы у — ах2 4- 4- с, дровссти прямую, отсекающую от параболы сегмент наименьшей площади. Решение. Зап ишем прямую в виде I/ — 2/о — — ^о) » тогда площадь сегмента есть X, І1 3 — | {й - V2) dx - J (їо + —as0) - ax? - bx — c) dx -4 (Xj - ЖЯ) 4-*i®a 4- 4- + 2 № - И{®1 + + № —кхо-с где xi и лг^ абсциссы точек пересечения прямой и параболы определи ЕОТСЯ из уравнения у0 4- к(х - = ах2 toe -i- с или ах1, 4- — Л)4 + ? — Уо 4* fc^O - О И равны к - Ъ ± VD 2л D ~ (Ь- к)2 - 4а(с -уо+ кх0). Подставляя xi и х2 в формулу для площади сегмента, получим Ga2 Из условия S'(k) — 0 находим к = Ь 4- 2oxq. 'ІІШ1 4 1 <•> — ~ (уо - axj - йхо — с)'? . Заметим, что прямая с угловым коэффициентом к ~Ь-\-2ахо, про ходящая через точку Mo(z0)i/0), параллельна касательной к параболе у — ах2 4- Ьх 4-с в точке А1г(х0; org 4- Ьх0 + с). Если точка А/п(яо,!Л>) лежит на параболе, то у0 = ах^ 4- 4- с н Snijn = 0. Пример 25. Прямая, проходящая чере^ точку Аґ0(я0іуо) образует с положи тельными полуосями координат треугольник. Найти мини 390 Таким образом, площадь сегмента будет иметь наименьшее значе-ние при угловом коэффициенте к = Ь + 2аго, при этом дельное значение площади треугольника н написать уравнение этой прямой (см. задачу 3 §4), Решение. Площадь треугольника S = ^ аб, а уравнение прямой & отрезках (-7 = 1 Тогда — -Е- ^ = 1, а = b а Ь а С* — 1 Л - - g уо dS Аз уравнения -г- = 0 нашшм b— 2уа Искомая площадь Smin — db л; и а — уравнение прямой есть — + = 1. лто 2 уо Пример 26. Фигура ограничена линиями у'^ (зс+2)2, у = О, О- Под каким углом к оси Ох надо провести прямые через точку (0,4), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части (см. рис, 121). Решение. и -1 S Л DO (я + З)2da; = і (л + 2)а|° - |. «і 1-І J Так как Soon = Scbd *= Sbad> tb\OD-OC=\ OD(OB - ОС) = = I - \OD-OB или ОС = ВО - ОС т І - OB. Отсюда ОС - u Z ? У ОБ —- Тогда искомые углы равны а і « arctg ^^ — arctg 9, аг = f OD , & - arctg ^ - arctg Пример 27, Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми; О У = |2 - |a?|j, у = 0f х = я = 4; 2) у — -ь \х\ - 2|, у = 0, я = -2h ж - 2.
у j j
j D{ 0,4)
\ УН
А ВС О х
Рнс. 121 [УлМ і¦V-* V 392 Интегральное исчисление Решение, I) График функция у = |2 - |z| f показан з §38, Величина искомой площади равна сумме трех треуголыгикоа 3 = ^ ¦ 2 ¦ 2 -Ь ^ ¦ 4 ¦ 2 Н- ^ ¦ 2 * 2 — & 2) График функции у = ^х'2 4 — 2f изображён в §ЗЙ. Искомая площадь с учётам того, что данная функция является чётной функцией, равна Iі 2 S = 2 | (і3 + х - 2) dx 4 2 f + .г - 2) сіх = | 4 у — 6. 'о і Пример 28, Найти площадь фигур, ограниченной графиком функции у = $ 4 5 н касательными, проведёнными к этому графику в точках с абсциссами я = 0, х = 2 (см. рис. 122). Решение. Так как уравнения касательных к графику функции у = X2 + 5 есть: у ~ 5; 4х — у 4- 1 = 0, то искомая площадь равна (см, рис.) А 5 = ^ЛЛ- Злэсго - Sbcd = j (з2 + 5) das - AC - CF - о -і ВС¦ 1 l 4 = g. Пример 29, Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и делящей криволинейный треугольник с вершиной в начале коорлинат, ограниченный линиями у = 2х — х2, у = О, х — 1, на две равновеликие части (см. рис. 123).
У1 и
О z^iq іс
"7 1 А г
Рис. 123 Решение. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид у = кх. Зове = \ ОС-СБ = і Сії ^ I fc, так как ОС = 1, tga= fc = — БС. і г „ 2 Э1 2 So ас =| (2а- - = 2 Socb или - - к, отсюда к - -. Уравнен не искомой прямой есть у = » х. Пример 30. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функция аг 4* (у - а)* == = 1 (а > 1), Решение. Искомый объём определяется го формуле Ух = т J (у? - УІ) dx, где == О. ± \/l - X2 , -I так как у\ - = 4а\/1 - х2 „ то і і Vx = it J 4а V* - я2 = 8їга j Vl - x2 dx = - J = 2тг2а, - д Пусть кривая задагіа в полярной системе координат г = /¦() (см. § 7). В этом случае площадь сектора, ограниченного кривой г и ра диусами-векторами if — Of и <р = ft равна Если кривая есть окружность г = Я, 0 < < 2*h то для площади круга имеем известный результат 2f Эя- = 1ГІ\ o = \ HV Дли получения длнньї дуги в полярной системе координат запишем формулы перехода от полярЕгой системы координат к декартовым прямоугольным координатам х =¦ гсошр> у — Т&\п<р. В общем случае т = ™ ® ~ r(tp) cos<Ръ у = r[tp)s'uitp, и, рассматривая ір как па раметр, а сами уравнения как параметрические уравнения кривонмю- лучим х'у = rj, coy (р - rain tp, у'9 ^T^smip+r cos тогда у= = + г"й, Таким образом, длина дуги кривой, заданной в полярной системе координат, определяется формулой 4>г J ^ - г2 dy. VI ЕСЛИ кривая есть окружность г = R, 0 ^ tp ^ 2тг, то 2тг __ Ь = | + dtp = = 2тгR. о Пример 31. Найти в полярной системе координат площадь и длину лунки, ограниченной дугами окружностей х1 у2 — 2Rx и х2 + у2 ~ = (см. пример 17), Решение. Уравнения заданных окружностей в полярной системе координат есть: т — 2Ясо5<р, — — < tp < г — 2/Eshi^, 0 ^ ір ^ тг (см. §7). Тогда площадь сегмента (ОАВ, см. рис, к примеру 17) равен Ц-/2 п/2 п/2 cos: — Л" | (1 -f- cos2^>) dp ^ *r/4 тг/4 A J = *(>1 -tf (3-і), а длина дуги OAS есть */2 тг/2 Лі = J ^^ ef^ - J yWainV + ^tf3 cos2p = rr/4 - пуЧ -чі;*-5 Площадь сегмента ОСВ равна и г/4 іг/4 (1 — cos 2^) dip = = 1 - I sraV а длина дуги ОСВ тг/4 Li = Таким образом, искомая площадь лунки равна S — S\ + З2 = — R2 ^ - j а её длина есть L = L\ + Li- тгії. — к/О -т/о L = т/cos2 -Ь (1 - ЙІГИ^)2 ^ір - І — нту>) dip = -71/2 -w/в -тг/2 -тг/fl -тг/2 -¦к/'Л — 4 соз = 2. -7Г/2 (M) 4) г = 2<р, 0 ^ ф ^ - (архимедова спираль). з/4 З/'І = і|+ь2 3/4 J т/4 +¦ <іх = іру/*р2 + + vfy® + 1) (см, g 4I>. Пример 33. Вычислить интегралы /, = Г5ЙКА, h = + dx. J 1-H Ж ] + X 1 + я: rt І L J Решение. г - Г rl-r-( " = ^^ * = ТТЇ' ^ о J 1 + vr 4 j 1 + X = I 1д2 — 5 ill2 = I 4 о о Здесь учтено, что [ + г-^ dx = у In2 (см. § 48), J 1 + х о искомая площадь равна S — Si — S2 = 41tt 2 — 1. 399 Пример 36. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг х 4- у2 < Ах разделен параболой у2 = 4х — 4, Решение. Площадь первой части (см. рис. 127) а 2 5] = 2 J \/7х -х2 dx- 21 4 dx = о і 2 ' 2 _______ = 2 j х)2 dx- 4 [ /а: -1 dx = (х - 2}^4 - (Ї - 2)5 + 8 -Sr-j л — 2Ґ 2 3 + 4arcsm~— і 8 (вычисление интеграла см. § 45)< Площадь второй части - ttR2 — Si = 4тг — 2зг + | = 2п -f О и Пример 37. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х~ +- -f- у2 = 4, + у2 — 9, у = а:, у = v3ac, д: ^ 0 (см. рис. 1 28), Решение. В полярной системе координат искомая площадь равна */з їг/З -іі^іІ^ИИ-і- я/4 Tt/J (см. пример 34). Пример 38. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = х2 + Фх + с и касательными у — -4х + 3, у — 4х - — 13, проведёнными к этой параболе (см, рис. 129). Решение. Пусть точка ^(дгьуі), э которой проведена касатель* ная у — —Ах + 3Т а A/afea,^) — касательная у — Ах - 13h тогда имеем две системы уравнений. Произвольная постоянная С находится иэ условия р( = 0 и равна 5тг * —, В итоге получаем - ^ (х - 0 + ^ sin 4а;- - sin2x. Пример 40, Найти значения параметра а, для которых і Решение. Так как = » 1пV5 + а + j Г+ = а +1, 4 J \ ] +1 1+ х' j 0 х t то получаем неравенство а — 3 < у'я — 2 „ решение которого есть 2 < С-І Пример 41. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг чрлмой у чя 1 фигуры, ограниченной графиком функции у — 1 + + СОЙ" х Решение. Перенесём начало координат в точку (0; 1), тогда искомый объём равен cos4 х dx 4- cos 2 x)7dx = V = 7Г ir/2 = ї f » 2 *rt = ^ j + 2cos2s + | + ±coe4i) = І*3'. -т/2 Пример 42. Найти объемы телг образованных вращением фигуры, ограниченной кривой х = at2, у = ab? (a > 0} и осями координат, вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу, Решение, а 1 1 1) = TrJVdx = я ja2ln3t ~2atdt ^ tin2 tdt - /VI-И, | ылЛ «3^(1 ptfJ1 _Гі1піД\ = У 1(й = dv, и s=tB/2 J V2 і / І \ tdc_=dw, tr = Л 1 - II / ^ lo 2 2 Здесь учтено, что a) lim tin і — lim lim —t- (правило Лолита ля) = ' ?-.0+0 1 t-1-0+0 і -- lirn t-0; 2 7 lnt — lim * * = lim Ы2 t 6) lim Ї2 In21 = lim — = liiu — иш -7Г t—0+0 1 I—hO-f-O _ A I—0+0 z 7 - lim і і2 = 0- 6-tQ-M) 2 2) Vv = ir j x2dy=*\aW±dt=Va*\t*dt = i«A -с» 0 0 Объём можно вычислять по формуле ь Vy = 2тг|а;)/(г)| dx. В нашем случае і і3 Intdt = Vv — д!п?) ¦ 2aidt — -4іга: 0 = - і тга3. 4 Пример 43- Найти объёмы тел, образованные вращением вокруг оси Оу фигур, ограниченных линиями: а) у = + 2х + % у 2; б) у2 - (я: 4- 4)3, г = 0; а) у2 — 4 - х, х — 0; г) у — х 0, у « &. Решение, о о J О 2 1 в) Vv - 2тг jVdy - 2тг J (4- = ^тг; г) = = о