§4. Рамус о геометрических определениях.
Обратимся к геометрии Рамуса. Возьмем определение круга. Здесь и в настоящее время существует некоторая словесная путаница; "круг" употребляется и в смысле кривой, и в смысле площади, ограниченной этой кривой согласно 15-му определению I кн.
"Начал"11 : "Круг есть плоская фигура, содержимая одной линией, называемой окружностью, к которой все прямые, исходящие от одной из точек, внутрь сей фигуры лежащих, взаимно равны".Для кривой, ограничивающей круг, согласно этому переводу, остается термин: "окружность". Но тогда следует говорить в 3-й книге о касании и пересечении в двух точках не кругов, а окружностей. Вообще вся третья книга должна быть отнесена к окружности. Рамус дает [следующее] определение окружности: "Окружность - та кривая, которая отстает равно от середины заключаемого в ней пространства".
Мы не вполне выразим то, что хочет Рамус, если скажем, что окружность - это кривая, равноотстоящая всеми своими точками от некоторой точки ее плоскости. Это определение per genus et dilTerenliam.-2
Правильней его выразить так: оружность принадлежит к классу центральных кривых (которые имеют medium, или центр), но при этом это такая кривая, что расстояния от центра [до всех точек кривой] равны.
И Рамус говорит не только о центре круга, он говорит вообще о центрах.
Каждый из нас отнесет к одному классу и центр квадрата, и центр
круга.
Все это центры - симметрии, о которых мы получаем идею много раньше, чем в состоянии облечь ее в научное определение.
Евклид, если и имел эту идею, то все-таки выключил ее из своих "Начал", так как она ему оказалась ие нужной для выводимой цепи положений. Рамус же ие мот обойти этот обобщенный центр при присущем тому времени стремлении к построению иерархий объемлющих друг друга классов.
Определение центра у него [следующее]:
Centrum est punctum in ligura medium.
Центр [есть] середина фигуры.
Т.е.
им предполагается, что то, что нужно считать серединой (в тех, конечно, фигурах, где эта середина есть) каждый знает, и снабжает эту точку названием: центр.Радиус [по Рамусу, есть] не только у круга.
Радиус [есть] у всякой фигуры, имеющей центр. Это - прямая, идущая от центра к периметру (отсюда выводится, что центр [находится] в пересечении диаметров).
Угол понимается Рамусом не в евклидовом смысле: гак наклонения двух линий, которые встречаются в плоскости и имеют различные направления: как и у Евклида, [у Рамуса] (в противоположность современному взгляду), в понятии угла заключается и смешанный угол (напр. угол сегмента, заключенный между дугой и прямой, согласно определению 6. III книги "Начал"). Но выше вида: угол "стоит" род: lineatum - соединение линий.
Angulus est lineatum in coininuni sectione terminorum.
Угол есть лииеатум в общем сечении членов.
Параллелизм прямых подводится под общее понятие параллелизма линий (как прямых, так и кривых). Параллельными являются не только прямые, но, например, два концентричных круга (или, вернее, окружности).
Под род параллельных линий подводятся два вида: параллельные кривые и параллельные прямые. Определять следует не "прямые парал-лельные", а вообще параллельные линии, из какового класса "прямые па-раллельные" выделяются благодаря признаку прямизны. Но, как основательно замечает Рамус, та идея о параллелизме, которую мы находим в себе, менее всего характеризуется несхождением прямых. Кривые не па-раллельные могут не сходиться, какова, например, конхоида или гипербола с их ассим- птомами.
Можно было бы добавить к тому, что говорит Рамус, и обратное: что паралельиые могут сходиться, если, впрочем, взять такие кривые, которые самому Рамусу вероятно не приходили в голову (см. черт. 1). Характерным признаком параллелизма является рав- ноудалеїтость друг от друга. Lineae parallelae sunt quae ubique distant aequaliter.23--1
При этом свойство, что две линии, паралельные каждая третьей, параллельны между собой, распространяется и на случай кривых параллельных.
[У Рамуса] определяется ие высота треугольника и затем высота призмы и т.д., а высота вообще.
Altitudo est perpendicuiaris a vertice figurae ad basin.
Высота - перпендикуляр от вершины фигуры до основания.
По Евклиду25:
"Когда прямая, поставленная на другую прямую, делает смежные углы взаимно равными, то каждый из равных углов называется прямым; а поставленная прямая называется перпендикулярной или отвесной к той, иа которую поставлена".
По Рамусу:
"Прямые взаимно-перпендикулярны, если одна, падая на другую, равномерно между ними лежит (aequaliterinterjacet)".
Рамус не может определить перпендикулярность с помощью смежных углов, ибо, согласно его плану, общие свойства линий следует излагать раньше, чем свойства угла - одного из видов lineatum.
Как следует понимать aequaliter?
Конечно, не в смысле равенства смежных углов. Это значит - по Одну сторону от падающей кривой (или прямой) то же.
что по другую. Это безусловно верно для двух взаимно-перпендикулярных пересекающихся пря-мых. Радиус же круга и окружность удовлетворяют, так сказать, только напо-ловину этому требованию. Часть А такая же как С, но не такая же как В, так что отношение перпендикулярности [по Рамусу] является несимметричным: радиус перпендикулярен к окружности, но окружность не перпендикулярна к радиусу.Для того, чтобы подвести подобие окружностей под общее опредление подобия, которое берется из V У
• С А -
евклидового определения прямолинейных подобных фигур (см. I опред. 6 книги "Начал" - Figurae similes sunt figurae aequiangulae et proportionalibus cruribus aequarum angulorum).26 Рамус мыслит круг как много-угольник с бесконечным числом сторон. Черт. 2.
Circuli aulem et Sphaerae similes intelligentur ex illo polygone infinitoram laterum ut suo loco de singulis intelligetur27.
To, что у Рамуса является следствием совершенно определенных взглядов на сущность определения, в комментариях Клавия28 выступает в форме, может быть, и не вполне ясной тенденции.
Он.не вооружается против евклидовых генетических определений, но выставляет в комментариях другие, не евклидова типа определения.
Евклид дает для шара, определение совсем не то, которое соответствует приведенному выше евклидову определению круга.
Такое определение дает Клавий в своих комментариях в дополнение к евклидову:
Spliaera est figura solida una superficie comprehensa ad quam ab uno puncto eo rum quae intra figuram sunt posita cadentes reclae liniae inter se sunt aequales.
"Шар - телесная фигура, заключающаяся в поверхности, от кото-рой идут к некоторой точке внутри фигуры прямые, все равные между со-бой."
Не трудно видеть, отчего Евклид не мог дать это определение, а дал другое:
14 опред. XI книги "Начал":
"Шар есть тело, производимое через обращение полукружия на неподвижном его поперечнике, пока оное опять восставится там, откуда началось его обращение".
В самом деле, Евклиду при определении Клавия, пришлось бы, как и к приведенному выше определению круга приставить постулат о возможности описания данным радиусом шара1",
Но такое описание производилось бы не движением прямой, а бесконечной совокупностью движений.
Нет никакого сомнения, что Евклидом признавался один способ образования геометрических фигур на плоскости - с помощью черчения их циркулем и линейкой, сводящегося к образованию кривой, движущейся точкой, и площади, движущейся прямой. В стереометрии это представление полутало естественное продолжение в смысле образования тел движущейся площадью.Средневековое мышление пололашо свой отпечаток на понятие о геометрическом существовании, которое подверглось незаметной для самих математиков метаморфозе.
В то время, как существование геометрических объектов у Евклида определяется возможностью их построения, у математиков XVI и XVII веков, это существование признавалось в смысле существования проекти-ровавшихся во вселенную универсалий средневековых реалистов30.