§ 9. Теория параллельных от Рамуса до Саккери.

В отношении к евклидовой теории параллельных математиков XVI века можно также ясно усмотреть характерные черты.

Эта теория основывается иа 35-ом определении I книги "Начал".

"Параллельные прямые суть те, кои будут на той же плоскости, и продолженные в обе стороны беспредельно, нигде взаимно не встречаются" и на 11-й аксиоме72 той же книги: "Если на две прямые падает третья прямая, и делает углы внутренние и на ту же сторону, меньше двух прямых, то оиые две прямые линии, продолженные беспредельно, взаимно встретятся на ту сторону, на которую углы меньше двух прямых", представлявшейся не достаточно очевидной или даже ие очевидной, и поэтому являющейся своего рода пятном на "Началах" Евклида.

Проблема о параллельных состояла в отыскании недостающих звеньев между 11-й аксиомой, которую следовало отнести к теоремам, и остающимися аксиомами "Начал".

Для них проблема о параллельных сводилась к исправлению евклидова определения 35-го и к выводу из нового определения согласного с требованиями их логики, 11-ой аксиомы и теорем "Начал", относящихся к параллельным.

При этом, в том, как понимать этот вывод, остается некоторая неопределенность.

Но в дальнейшем устанавливается такой смысл: кроме определе-ния могут быть использованы только аксиомы более высокой степени очевидности чем 11-я аксиома Евклида и другие аксиомы, которыми она заменялась античными математиками. Определение параллельных прямых, так равноотносящих, вошло во все теории параллельных XVI и XVII веков.

Сперва занимались только одним определением. Опровергали евклидово определение с помощью различных аргументов, вроде конхоиды и гиперболы, не параллельных своим асимптотам, но никогда их не пересекающих. Этот прием повторяется во всех комментариях XVII века.

Его же приводит и Клавий в своей критике прокловой теории параллельных, Интересно отметить, что анализ этого определения параллельных приводит Клавия к созианию необходимости оправдания этого опрс- деления; "Следует убедиться, что линия, все точки которой равноудалены от прямой, тоже прямая".

Но при этом положении в собственном смысле, нет доказательства, а только поясненне, имеющее целыо повысить степень очевидности этого почти очевидного положения. Все сводится к ссылке на то, что линия такая, что АС = EF = DB =... должна обладать однородностью, равно лежать всеми точками. Делается попытка пустить в ход определение 4-й книги "Начал", остающееся у самого Евклида без употребления75.

Положение: "Если к прямой АВ восстановить два перпендикуляра АС = BD, равные между собой и соединить концы их прямой CD, то пер-пендикуляр EF, опущенный из всякой точки этой прямой будет равен АС и BD". Ибо иначе построив прямую CGD с точками равноотстоящими от АВ, в случае ее несовпадаемости с CD будем иметь две прямые CED и CGD заключающие пространство, что противостоит 12-й аксиоме I книги "На-чал"74 .

Дальше идет теорема: "Если к прямой восстановить два перпендикуляра, равные менаду собой, и соединить юнцы их прямой, то эта прямая будет образовывать с общим перпендикуляром прямые углы". У Дешаля75 эта те-орема, заимствованная у Клавия, формулируется так:

Перпендикуляр к одной из параллельных АВ вместе с тем перпендикулярен и к другой CD.

Клавий в своем доказательстве устанавливает сперва (отложив от F FA и FB равные между собой и проведя АС и BD±A В) равенство треуг.

AEF и FEB (AF=FB, EF=EF и Z AFE =Z EFB). Отсюда выводится, что ZAEF = ZFEB и ZCAE=ZEBD.

Далее устанавливается, что ДСАЕ = EBD откуда ZAEC=ZBED

Z AEF+/АЕС =ZFEB +ZBEF, т.е. углы при Е равны и FF.LCD.

Постулат о параллель- Черт 4 ных может быть заменен посту- латом о пересечении перпендикуляра и наклонной.

Это последнее положение и доказывается Клавием.

Следует доказать, что АС и BD пересекаются между собой.

От А по АВ откладывается AF, затем AG = 2 AF, затем АН = 2 AG и т.д. пока не дойдут до точки 1 находящейся за В на АВ.

Проведем FE ЛАВ. Откладываем по AC АК= 2АЕ, AL=2AK и т.д.

Через сто лет после Клавіш вид этой главы геометрии совершенно меняется. Центр тяжести переносится с определения на аксиомы. Улсе не ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям логики, среди возмолсиых определений, но берется такое, исходя из которого можно было бы дойти до цели, пройдя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не выставляя современного требования minimum'а, совершенно чулсдого ХУЛІ веку.

У Борелли77, параллельные прямые (но не линии вообще) опред- ляются, как перпендикуляры к одной и той лее прямой.

Первое полол<ение Клавия объявляется аксиомой и доказывается пололсение: "Если к двум прямым, лежащим в одной плоскости, перпендикулярна одна прямая, то всякая прямая, перпендикулярная к первой, тем самым будет перпендикулярна и ко второй. Доказательство ведется от противного. По условию EF X CD и X АВ.

Откладываем CF = FD и проводим АС и BD X С D.

Пусть GH прямая, которая описывается перпендикуляром к CD равным EF7S, тогда GC = EF=HD; Д GCF s д FHD откуда GF = FH, Z GFE - ZEFH, И ZGEF = ZFEH чего, очевидно, быть не может.

Из равенства Д АЕС и CFE следует, что Z А прямой, и таким лее образом, что Z В прямой.

Отсюда сейчас лее извлекается равенство внутренних накрест лежащих углов (см. черт. б - из равенства Д ADC и ABD).

Если теперь обойти первое пололсение Клавия, объявленное Борелли аксиомой, то нам удается вместе с Саккери7' доказать только, что Z А = Z В, но не то, что Z А и Z В прямые.

Нам придется вместе с Саккери рассматривать три гипотезы:

1) тупых углов А и В,

острых и

прямых.

Первую гипотезу Саккери удается отвергнуть, исследование же второй не приводит к доказательству абсурдности, удовлетворяющему автора и содержит скрытым образом основы геометрии Лобачевского, геометрии "острого С D

угла".

В этом исследовании ярко выступают свойства геометрического места рав- / ных расстояний в той геометрии, где такое геометрическое место не представляется

улсе прямой.

Черт. 6.

Часто, приходится читать, что гео- тт ,.

Черт. б.

метры две тысячи лет размышляли над

доказательством постулата о параллельных, что на попытки решения этого заколдованного вопроса пошла колоссальная энергия многих веков.

Но это иллюзия, которая получается проектированием недавнего прошлого в отдаленное прошедшее, нами почти забытое.

Можно сказать, что вплоть до Ламберта, начиная с возрождения геометрии в XVI веке, геометры относились в общем довольно легкомысленно к этому вопрос)'.

Саккери в XVII веке - один из немногих исследователей в этой области, почему ему и ие суждено было заслужить внимания у современников.

В человеческом уме есть склонность обращать положения.

"То, что содержит противоречие, не может существовать", это — основная аксиома при построении метафизических систем рационалистов, в особенности в последнем периоде, когда уже возникли первые разочарования в разуме, когда прямые доказательства уже стали пополняться косвенными.

"То, что не существует, то не существует потому, что содержит про-тиворечие", это - обратное положение, в которое можно вполне не верить, прекрасно веря в первое.

Разуму присуще особое самомнение, вера в возможность все доказать как существование чего-либо другого, так и не существование чего- либо другого.

Так как наиболее сильным орудем его доказательств является приведение к абсурд)', вскрытие противоречий в объекте несуществование которого ои подозревает, то вполне естественно верить, что всякое несуще-ствование обуславливается именно абсурдностью. Поэтому признание других геометрий, ие содержащими противоречий, из которых некоторые дол ясны не существовать, когда существует евклидова, геометрия, это нечто такое, к чему разум мог лишь долго и с большим трудом приучиться.

Рационалистический период пришел к сознанию различной степени очевидности той груды аксиом, которые он вскрыл.

Недостаточная очевидность постулата о параллельных и его эквивалентов - вот что побуждало математиков XVIII века так много размышлять об этом предмете.

Положение:

"Те положения, которые логически выводятся из очевидных истин, менее очевидны, чем эти истины" обращается в естественном заблуждении разума в пололсение: "Все менее очевидные положения должны выводиться из более очевидных" и отсюда начинается изыскание этих выводов50 .

Но при этом истина постулата о параллельных как бы начинает терять часть своей очевидности, она уже не представляется столь очевидной, как раньше, отвержение ее не кажется столь невозможным, ісак это казалось в XVII веке и при этом преимущественно в глазах эмпирически настроенных умов.

Идею о возможности построения чуждой логических противоречий иеевклидой геометрии мы находим впервые у Ламберта.