§ 11. Теория параллельности Лейбница.

Против евклидова определения параллельности как прямых, не пересекающихся при своем продолжении, выступал еще в XII векеРамус32. Он подчеркивал полное несоответствие этого определения общему понятию параллельности каких угодно линий, которые, оставаясь параллельными, могут вместе с тем и пересекаться33.

Он определяет параллельные (и при этом не только прямые, но и какие угодно лииии), как равноотстоящие.

Все свойства параллельных выводятся просто из этого определения. Но определение это именно предполагает эквивалентную аксиому о том, что геометрическое место точек, равностоящих от прямой, представляет прямую. Как известно, в геометрии Лобачевского это геометрическое место, кривая - гиперцикл. Лейбницианское34 определение, конечно, предполагает такую скрытую аксиому. д В Q М

"Параллельные, — говорит Лей- V 7 'Г 7

бниц, - это те, которые везде нахо- \ / \ /

дятся взаимно в том же отношении". \ / \ /

„Paralcllae possuiil definiri V Л/

rectae qiialinvicetn ubicuiique liabent P T

eodemmodo". І ерг.

Лейбницианское определение предполагает, что не только операции восстановления перпендикуляров в различных точках прямой и откладывание равных отрезков дают параллельную прямую, но и что вообще одинаковые построения, производимые над прямой в различных точках, дают также параллельную упрямую.

Так, например, если мы в одном месте отложим отрезок АВ и в другом месте такой же отрезок QM и построим на них равносторонние треугольники, то вес вершины этих треугольников окажутся на параллельной прямой (черт. 2).

Вместо этого построения можно взять и другое. Можно строить равные параллелограммы ABDE, LMNP и брать точки пересечения их диагоналей Т и Q.

То, что существует такое геометрическое место, такое, что каждое из построений, возможное в одном месте, возможно и в другом, - это выводится из изогенности пространства, из того, что пространство здесь таково же, как там. Но из изогенности пространства, как это кажется Лей-бницу, вовсе не вытекает то, что это геометрическое место - прямая.

м

По Лейбницу, из того, что геометрическое место находится в том же отношении к прямой, вытекает ее однородность, но только ие в смысле гомогенности, а в смысле изогенности - одинаковые построения в различных местах должны давать те лее результаты.

Если на концах отрезка AD построить перпендикуляры AB=DC, то в силу изогенности пространства, следует ожидать, что углы В и С будут равны. Но равенство углов В и А,

D и С отсюда не вытекает, оно вытекает из гомогенности пространства.

Дальше Лейбницу следовало бы так рассуждать:

Если вместо AD взять A'D' и на нем построить четырехугольник A'D'B'C' с прямыми углами при основании и с равными боковыми сторонами, то должны получить угол В' равный В. в С У8 / В' с \ / \ А А' О D' D Уменьшая A'D', мы должны будем прнзнать, что и в том случае, когда A'D' обратить в точку а, В'С' пойдет по AD, углы, смежные углам В', С', окажутся равными углам, смежными с А' и D'. Как и при доказательстве Валлиса, собственно одной гомогенности пространства оказывается недостаточно. Необхо- Черт. 4. димо еще применить общий принцип пределов: то, что остается неизменным при изменении переменных X, Y, Z..., остается верным и в пределе. Это Лейбницем высказано в форме очень общего положения, имевшего у него более метафизический, чем математический характер34. По существу оно совпадает с первой половиной принципа непрерывности Понслэ: если какое-нибудь положение доказано при ограничении так, что некоторые величины а, Ь, с... не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность и не принимают мнимых значений, то оно остается верно и тогда, когда эти ограничения сняты.

Но Лейбниц сам к этому принципу не прибегает. Он говорит, что в виду того, что смежные углы при А равны, нет основанім чтобы они при В оказались неравными. Это довольно темно и требует разъяснения. Лейбницу представляется почему-то очевидным, что

У Р

—может зависеть только от — и если 6 = а, то обязательно у = 5 .

Ь а?