§ 5. Порядок геометрии по Рамусу.
В "Началах" Евклида все аксиомы стянуты к началу I книги.
Вспомним эпоху Евклида, вспомним, что "Начала" Евклида являлись своего рода крепостью, которая должна была быть готова выдержать тяжелые орудия софистов.
Ие трудно уяснить себе стратегические приемы софистов.
Чтобы победить противника, следовало прежде всего вырвать от него признания нескольких общепризнанных истин31.
Их должно было быть немного и с ними следовало, как можно скорее покопчить.
Без сомнения, для софиста было в высокой степени выгодно делать это не в начале, а потом, при ходе дальнейшего изложения или спора требовать от собеседника или противника признания не высказанных раньше аксиом.
Вне сомнения, что чем позиция его противника становилась опасней и спор казался ближе к окончанию для противника неблагоприятному, тем менее последний становился чувствительнее к этим общепризнанным истинам.
Вся евклидова логика, как и логика Сократа и Платона вышла из софистической логшси совершенно так же, как логика Рамуса из схоластической.
Та схема, в которую облеклись начала геометрии это схема - софистических споров.
Определения, в противоположность аксиомам оказываются распределенными между различными книгами.
Нужные для дайной книги определения помещаются в начале ее.
Собственно говоря, и определение тоже следовало помещать в начале книги.
Вероятно, так это и делалось бы, если бы "Начала" были меньше. Но в таком большом труде, как "Начала" Евклида это было бы уже невозможно, так как читатель не был бы в состоянии удержать в своей памяти всю ту массу необходимых определений, которые выставляет Евклид.Такой порядок аксиом и определений в настоящее время является недопустимым. Система определений должна постепенно развертываться с цепью теорем.
Если мы определяем А совокупностью признаков: а, Ь, с..., то мы должны предварительно доказать совместность этих признаков а, Ь, с..., что возможно сделать только протянув уже часть цепи друг за другом сле-дующих положений.
Необходимость оправдания определений некоторыми начала созна-ваться еще в XVI1 веке.
Борелли, определяя параллельные прямые как равноотстоящие, доказывает предварительно, что все точки, равноотстоящие от дайной прямой лежат тоже на прямой.
Но проблема обоснования геометрических истин, вплоть до второй половины XIX века, сводилась к выводу положений из системы очевидных категорических суждений.
Если к категорическим суждениям присоединить условные, то дело изменится.
За аксиому можно было бы признать положение: "Если имеет место А, то также имеет место и В".
Но наличность А может быть не очевидной, и приходится доказывать ее из других уже очевидных категорических суждений.
В таком случае аксиомы уже рассеиваются по всей сети доказываемых положений.Это рассеивание будет еще большим, если идти дальше и признать своей целью вывод положений ие из очевидных истин, а только из простейших положений - постулатов, не предъявляя к последним требований очевидности.
Рамус тоже вооружается против евклидова порядка, но, исходя из совершенно иных, нам совершенно чуждых идей.
"Природа, говорит Рамус, ие создает лес таким образом, что производит сразу для всех деревьев корни, а затем к ним стволы; архитектор не будет строить город таким образом, что для всех домов сперва воздви- нет фундаменты, а затем займется самими постройками.
.. .Евклид должен определить треугольник там, где он начинает теорию треугольников, четырехугольник там, где начинает говорить о четырехугольнике".
Рамус представляет себе сперва родословное дерево соподчиненных родов и видов, Каждый член этого родословного дерева получает оп-ределение. Это, так сказать, ствол дерева с его ветвями.
Теоремы - это листва, его украшающая. Это не столько оправдывают определений (эта эпоха более далека от такой критической точки зрения), как просто полезные или любопытные сведения. Вследствие этого и геометрия Рамуса получает внешнюю физиономию практической геометрии, сближающей ее с геометрией Дюрера32.
"Для Рамуса, говорит Клейн, практические интересы стоят на первом плане, лишь на втором стоят у него логические дедукции, ие как самоцель, а лишь как средство для нахождения новых практически полезных предметов, которые могут быть получены непосредственно из наблюде-ния"33 .
Но Клейн забывает сказать главное: еще выше практических инте-ресов у Рамуса стоят схоластические интересы, построение delineatio34 геометрии, родословного дерева геометрических классов с удовлетворяющими его логике определениями.
О рамистах - последователях Рамуса мы еще будем говорить. У них идеи Рамуса получают дальнейшее развитие. Что же касается до геометров - предшественников, у которых те же схоластические идеи обнаруживались в менее развитой форме, то ограничимся упоминанием более близкого к Рамусу (XIII в.) Иордаиа Неморариуса и более отдаленного Псел- ла (XII в.).
Последний в своем Quadrivium, можно сказать, дает ствол и очень мало веток, почти без листьев.Это все - определения и определения; но в этих определениях Вы не чувствуете стремления связать их в одну стройную систему, установить основной род, определяющий вид с помощью специфического признака. Мы имеем там по несколько определений к одной вещи.
Punctum est cuius nulla pars existit. Linea cuius partes sunt puncta. Superficies cuius partes sunt lineae. Corpus cuius partes sunt superficies: vel aliter: Punctum est momentum quod non fluit, linea punctum fluens... iterum punctum est quod omni dimenzione vacat и т.д.35
Определения же Неморариуса36 совершенно другого характера - он уже ясно указывают на стремление подняться к высшим родам, ие зат-рагиваемым Евклидом.
Таково определение continuitas (непрерывности или, вернее, непрерывного геометрического образа), объемлющего собой виды линий, поверхности, тела...
"Continuitas est iudiscrecio terminorum cum terminandi potentia". Непрерывность - неразличимость границ с возможностью ограничения,
Angulus est continuarum in continutatis termine convencium. Угол - схождение непрерывно стей в непрерывной границе37.