§ 1. Учение о формах и наглядная геометрия.

Следует выдвинуть как основной методический вопрос - вопрос о характере школьной геометрии и при этом остерегаться одностороннего решения, Я считаю ошибкой требовать осуществления в школе во всей чистоте одного из трех типов, о которых я собираюсь говорить.

Первый тип - это наука о пространственных формах1,

На вопрос, что изучает геометрия, с этой точки зрения следует сказать: треугольники, четырехугольники, круг, цилиндр, конус, сферу и т.д.

Эту геометрию можно уподобить ботанике или зоологии. В основе ее лежат некоторые простейшие истины, относящиеся к геометрическим фигурам и телам; из этих истин она извлекает следствие уже дедуктивным методом.

Конечно, эта геометрия всегда будет представлять основную часть школьной геометрии, в особенности на низших ее ступенях. Геометрия, раньше чем сделаться логической, должна быть опытной или наглядной2.

Понятно, учение о формах и наглядная геометрия - понятия, которые не вполне совпадают. Но, вне сомнения, они теснейшим образом между собой связаны. Наглядная геометрия, конечно, будет говорить не о свойствах пространства, а лишь о фигурах и телах, и, с другой стороны, геометрия с таким разрозненным содержанием, естественно, идет по пути естествознания и не отрывается от опыта.

Но приемлем ли взгляд, согласно которому наглядная геометрия является только примитивной формой геометрии, что логическая геометрия, как форма более совершенная, устраняет ее? Я думаю, что это неверно.

Наглядная геометрия ставит определенную цель, восполнить данную конфигурацию или так ее преобразовать, что в полученной новой кон-фигурации возможно ярко и убедительно увидеть некоторые геометрические свойства.

Конечно, если бы математика стала доказывать все истины, исходя из очевидных аксиом, то за такой наукой действительно оставалось бы лишь методическое и эвристическое значение. Но разве можно поручиться, что это так, что таких очевидных истин достаточно, чтобы доказать, пользуясь только ими, ее истинные геометрические положения? Но если их недостаточно, то области логической и наглядной геометрии только частично друг на друга накладываются.

Существуют положения, в которых мы убеждаемся лишь с помощью интуитивного характера операций.