ЛОБАЧЕВСКИЙ И ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В МАТЕМАТИКЕ1.

§ 1. Одно из характерных свойств, отличающих человека от животного, состоит в том, что человек стремится к недостижимому, между тем, животное ищет только то, что по его силам.

Прямой путь от С к А заменяется ломаным от С к В и от В к А, но последний путь забывается, Сосредоточение внимания на пути к В ослабляет интерес к уходящему в даль пути от В к А, и В овладевает психикой, стремясь сделаться самодовлеющей целью. Если в начале ценой всевозможных лишений копятся сбережения для получения тех жизненных благ, которые оправдывают все понесенные лишения, то затем эта первоначальная цель рассеивается, и деньги обращаются в конечную цель. Математи-ческая физика ставит чистой математике проблему на решение, например, задачу Дирихле. Но эта задача становится чисто математической задачей, при решении которой уже забываются интересы физики.

К поставленной проблеме вначале всегда некритическое отношение, изыскание решения всегда начинается с наивной и совершенно необоснованной веры3 в то, что решение проблемы существует. Насколько теоретический ум относится доверчиво ко всякой проблеме, в этом можно убедиться с помощью простого эксперимента: в редких случаях лицо, которому предлагается задача, содержащая в своих условиях нелепость, начинает с анализа условий задачи, а не с изыскания решения, только неудача последнего наводит его на мысль, что он одурачен.

Но, более того, вместе с некритическим отношением к проблеме, не вызывающим анализа совместности данных проблемы, выступает и ослабленное внимание к самому содержанию проблемы, влекущее неясность и неопределенность, так что сама проблема не является неподвижной, но колеблется в некоторых границах.

Исследователи расходятся не только в своих попытках решить проблему, но и в самом понимании этой проблемы.

Спор идет не только о правильности предлагаемых решений, но и о сущности самой проблемы.

История математики, да и история науки вообще, в настоящее время - это только сырой материал, правда, очень богатый, но в будущем история науки вскроет законы, которым следует ум человеческий, идя к решению проблемы через тернии заблуждений, причем история проблемы должна быть не только историей решения ее, но и историей ее метаморфозы.

Этическая проблема из норматичной проблемы о логическом выводе моральных норм из одного принципа превращается в генетическую о происхождении этих норм из одного корня5.

Алхимическая проблема о превращении неблагородного металла в благородный так, чтобы потраченная на этот неблагородный металл масса и труд стоил бы меньше, чем полученная масса благородного металла, эволюционирует из экономической проблемы в чисто естественно—научную, о превращении одного элемента в другой, причем мы находимся у порога решения этой проблемы, в то время как первая - неразрешима, кис квадратура круга6.

Основная физическая проблема о механистическом объяснении чисто физических явлений эволюционирует в проблему объяснения физических явлений с помощью простых электромагнитных явлений в элементарных частицах материи7.

Задача об интегрировании дифференциальных уравнений в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных или квадратур, превращается в исследование особенностей функции, определяемой диффе-ренциальным уравнением определенного типа8-9.

§ 2. Совершенно ошибочно думать, что 2000 лет велось размышление об 11-й аксиоме Евклида10, В связи с этой аксиомой ставились совершенно различные проблемы. В эпоху Возрождения Клавий вовсе не пытается вытянуть доказательство этого положения из объявленных Евклидом в І їсииге "Начал" - аксиом и постулатов. Основная проблема того времени" это еще чисто схоластическая проблема определений.

Согласно основной идее схоластико-аристотелевской логики они старались все определения развить per genus proximum et differentiam specfficam.

Понятию параллельности прямых Рамус предпосылает понятие параллельности вообще, выводя первое через ограничение второго15.

Принятие новых неевклидовых определений влечет изменение и в системе аксиом.

Если доказательство Клавия следует признать не разрешающим проблемы о параллельных прямых, то не в том смысле, как это теперь понимаем мы, т.е. усмотрев невозможность вывода использованных им положений без аксиомы о параллельных или эквивалентной ей аксиомы, а в том смысле, что поставленная Рамусом и рамистами проблема об исправлении геометрических определений, в частности, об определении параллелизма вообще и выводе отсюда параллелизма прямых, не решена им и даже, более того, и не может быть решена,

У математиков лее XVII века, т.е. рационалистической эпохи, место этой проблемы занимает другая', не о выводе этого положения из евклидовых аксиом, а о переработке этой системы, замене евклидовых очевидных истин - другими, более очевидными13.

К этому требованию присоединяется еще и другое - требование естественного порядка, идущего, согласно правилам Декарта и идеям пор- роялевской логики, от более простого к более сложному14.

Отсюда сдвиг теории параллельных к началу геометрии до теорем конгруэнции треугольников в сочинении Арно и в учебниках арпольдианс- кого типа.,

Эта проблема совершенно иная, чем лежандрова и риманова. Проблема остается тоже неразрешенной и тоже принадлежит к числу неразрешимых проблем, ибо евклидова геометрия является невыводимой из системы аксиом, не содержащей аксиомы той оке степени очевдности, что и ]]—я евклидова аксиома, если только не прибегнуть к общим положениям, может быть и более очевидным, но относящимся к чрезвычайно общим понятиям, не поддающимся уже чисто математической обработке.

Я считаю необходимым резко подчеркнуть различие этой рационалистической проблемы:

"Дано положение Q, можно ли его вывести из положений Р,, Р2, Р3, • Рп, (не ограничивая их числа и не ставя ограничения их независимости) более очевидных, чем положения Rp R2, R3, Rn, из которых мы уже умеем вывести Q" и проблемы: "Дана система независимых постулатов Р,, Р2...

В первой проблеме Р,, Р2... Р„ искомые, a Q задано, во второй проблеме Q - искомые, Р,, Р2... Рп определенно заданы.

Нельзя сказать, что Лагранж занят решением этой второй проблемы.

Лагранжева геометрия без аксиом15.

Упоминаемые в некоторых изданиях 5 аксиом, в других совершенно исчезают.

Рационалистическое направление в это время заменяется эмпирическим, аксиомы из откровений натурального света обращаются в опытное знание. Геометрия этого времени не желает искать скрытых аксиом.

Основным требованием Лагранжа является простота. Он ищет доказательства, опирающиеся на возмолено меньшее число аксиом, которые приходится упоминать, оставляя под порогом сознания какое угодно число других аксиом, увеличение которого не может усложнить доказательств.

Мы здесь, конечно, стоим уже близко к строгой и вполне определенной постановке проблемы, невозможность которой доказуется аксиоматикой.

Эмпирическое направление второй половины XVIII века перенесло интерес к очевидности лежащих в основе геометрии положений на их простоту16.

Более простые факты и легче наблюдаются, и легче выверяются, очевидность простых фактов имеет меньше шансов оказаться иллюзией, чем очевидность сложных.

Истинное и недостаточно очевидное положение оставалось в глазах рационалиста таким же откровением свыше, что и вполне очевидная истина; разница заключалась только в силе освещения натурального света.

Иное дело для эмпирика. Здесь уже недостаточность очевидности является показателем недостаточной проверениости истины в ряде наблюдений, устанавливающих эту истину.

Отсюда мысль, что это недостаточно очевидное положение, осложняющее геометрию, в действительности неправильно, что из данной точки можно провести не одну прямую, не пересекающую данной, а бесконечное число, но в таких границах, что при той точности наблюдений, с которой устанавливаются основные положения геометрии, эти прямые оказываются неразличимыми.

Попытка построения "воображаемой" геометрии, той, которая дол-жна заменить евклидову, в случае, если евклидов постулат о параллельных оказался бы неправильным, возможность чего в глазах математиков все возрастает, является попытками изыскания истинной геометрии определения свойств действительного пространства.

§ 3.

Не следует думать, что мысли о построений неевклидовой геометрии впервые пришли Лобачевскому". Но следует хорошо помнить, что до Ламберта математики из евклидовой системы постулатов с устранением 1.1-й аксиомы или заменой ее противоположной выводят положение только с целыо привести к противоречию, т.е. с целью построения апагогического доказательства этого постулата.

Так делает Саккери50, который, конечно, не достигает цели.

Так поступает и Ламберт11, но ему удается из двух гипотез о существовании четыреугольника с 3 прямыми [углами] и одним не прямым, тупым или острым опровергнуть только первую.

Но что касается до второй, то у нас уже является мысль, но довольно робкая, о логической возможности геометрии при этой гипотезе,

Гаусс идет дальше, он делает несколько заметок, относящихся к такой геометрии. Независимо от Лобачевского, но позже его, к построению неевклидовой геометрии приходит венгерский математик Больяй22. Лобачевский и Больяй взаимно дополняют друг друга.

Лобачевский обращает главным образом внимание на отличие не-евклидовой геометрии от евклидовой, на те положения, которые не имеют места в евклидовой геометрии, которые выводятся из предположения, что из данной точки можно провести пучок не пересекающих данной прямую прямых, между тем Больяй занят преимущественно тем, что является общим как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрий, тем, что по его мнению составляет содержание абсолютной науки о пространстве, и, таким образом, он становится ближе к аксиоматическим исследованиям.

То, что и предшественниками Лобачевского проблема разумелась в указанном смысле, явствует из самого названия, которое дает Швейкарт такого рода геометрии, называя ее астральной.

Микромегас, совершающий путешествие с изменением своего объема из мира млечных путей через окружающую пас обстановку в миры инфузорий и в миры молекул и атомов, будет видеть ие только изменение тех форм, в которые облекается материал, но и простейших их геометрических свойств.

§ 4. Но созидающий никогда не знает, для чего он создает. Работая в этом эмпирическом направлении, отыскивая истину в небесах, Лобачевский ее находит в самом себе.

Геометрия Лобачевского бессмертна не как астральная геометрия, а как геометрия воображаемая или, лучше сказать, как мыслимая, но не воображаемая, разумея под последней термин в современном смысле.

Тог путь, по которому шел Лобачевский, не только не может дать доказательства того, что его геометрия представляет истинную геометрию, но даже и того, что она может быть таковой, так как сами операции измерения должны уже предполагать какую-либо геометрию.

Заслуга Лобачевского не в том, что он научил нас мыслить о том, чего мы не можем вообразить, но что существует, - его заслуга в том, что он научил мыслить о том, чего нельзя вообразить и чего не только нет, но и быть не может, и довел до полной ограниченности различие между реальной и логической возможностями.

Ни один из математиков до Лобачевского не имел смелости освободить разум от цепей интуиции, сковывающих его, и дать полную систему геометрии, против которой говорил здравый смысл, но которая вела мас в широкие ворота царства разума.

Что важней в науке - анализ или синтезі

Выводить следствия из причин или обратно, подыматься к причинам, разыскивать силы, которые производят данное явление, или указать какие эффекты производятся данными силами? Оба направления равноценны. Есть великие аналитики, как Ньютон, вскрывающие путем анализа основные законы вселенной, есть и великие синтетики, как Лобачевский, извлекающие из неполной системы евклидовых аксиом не менее логичную и стройную, чем евклидовы "Начала", систему геометрии.

Но за синтезом идет всегда анализ.

Система Лобачевского не встречает противоречий. Почему? Можно ли сказать, что это происходит потому, что она относится к реальному пространству?

Гербарт, относя вместе с Кантом геометрическое пространство к духу, т.е. объявляя его нереальным, вне этого духа в сфере вещи в самой себе, находит другое умопостигаемое пространство, уже реальное, которому присуще не только субъективное, но и транссубъеюгивное существование.

Он получает это пространство своим обычным приемом исправления понятий, т.е. выбрасывая некоторые признаки и внося новые так, чтобы противоречия уже ие оставалось.

Все пространство Гербарта возникает из понятий совместности, смежности и раздельности, продолжением в обе стороны, последователь- ным разделением двух сначала совместных объектов А и В посредством В, и воссоединением посредством А23.

Гербартово пространство тщетно пытается выкарабкаться из смутной интуиции в области чисто логических понятий, является совершенно немощным для логической дедукции.

Конечно, не может быть никакой речи о геометрии такого умопостигаемого гербартовского пространства.

Но это математическое нежизненное пространство является матерью грассмановского протяжения, уже поддающегося некоторой матема-тической обработке и, в свою очередь, вызвавшего математическое изучение "самого общего" пространственного многообразия, объемлющего пространства Евклида и Лобачевского, как частіше виды (в работах Гельм- гольца, Романа, Софуса Ли)24,

У Гербарта только одно пространство логически возможно, чуждо противоречий, оно и должно совпадать с постулируемым им реальным про-странством. Но около пространства Лобачевского скоро родятся и другие пространства, прежде всего римановское, в котором устранена 12-я евклидова аксиома, что две прямые не могут заключать пространство, а затем и другие, так называемые патологические пространства. Все эти пространства предъявляют право на свое транссубъективное существование, но все эти пространства обязаны доказать свое право не на реальное, а иа чисто логическое существование.

Доказательство даже нескольких сот положений R,, R,, R, ... Rn из системы постулатов:

Р Р Р . Р

J I> 2' J ¦•' л

без встречи на своем пути логических противоречий еще не гарантируют от таких противоречий в дальнейшем, еще не доказывает совместности этих постулатов.

§ 5. Вот мы видим, как наша по существу метафизическая, или космологическая проблема, превращается в чисто логическую проблему об оправдании той или иной системы геометрии. От познания тех форм, в которых содержится вселенная, мы обращаемся к тем формам, которыми мыслит наш разум, В истории человеческого разума это момент наибольшего самоуглубления. Разум направляет свой взор не туда, вверх, в блестящие мириадами солнц пространства, а в темную бездну души и зараз постигает и свою силу и свою слабость. С одной стороны, он видит, что те схемы, в которых развертывается его построение, более однообразны, чем это раньше казалось, что в одни и те лее схемы вкладываются совершенно различ-ные объекты, но, с другой стороны, разум может, экономизируя свой труд, мыслить сразу о совершенно различных вещах, прилагая эти схемы к абстрактным понятиям, совершенно отвлекаясь от пространственных представлений, более того, разум может мыслить и о смутных понятиях и даже о противоречиях.

Ибо теперь определенно осознано, что не все признаки вещей являются логически действующими, что все те, которые не затрагиваются формально-логическим аппаратом, могут быть и смутны и противоречивы.

Эти мысли нас естественно возвращают к вере в разум, который может мыслить и о таких вещах, о которых раньше отказывались мыслить, считая контуры их слишком смутными.

Проблема доказательства логической возможности системы геометрии решается с помощью логических эквивалентов, т.е. таких объектов А, В, С, которые обладают логически действующими признаками, удовлетворяющими тем же постулатам, что объекты нашей системы А, В, С.

Но они могут содержать много признаков и чуждых А, В, С,- но только обязательно логически не действующих. Если А, В, С, принадлежат такой области (например, евклидову пространству), где мы отвергаем возможность противоречия, то система геометрии тоже не может содер-жать противоречия.

Путь, избранный Бельтрами25 (ограничиваясь только плоской геометрией), был следующий: за эквиваленты прямых геометрии Лобачевского были приняты геодезические линии на некоторой поверхности (псевдосфере), эти геодезические линии определяются двумя точками, моїуг бьтгь безгранично продолжены и т.д. Через данную точку проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную геодезическую линию и заключенных между двумя такими геодезическими линиями.

К сожалению, задача не была вполне решена.

Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы только в некоторой конечной области совпадает с геометрией Лобачевского.

Другие эквиваленты, указываемые Клейном211 и Пуанкарэ27, более успешно привели к цели.

§6. Основная проблема аксиоматики - доказательство совместимости и несовместимости аксиом, - сперва, это средство чтобы оправдать систему геометрии, установить, правда, не действительность, а только ее возможность. Теперь средство обращается в цель: аксиоматика приобретает право на вполне самостоятельное и независимое существование.

Математик! интересуют ие только звенья логической сети, но и сама логическая сеть, ставится проблема не только доказать положение, но доказать определенным образом, исходя из определенной группы постулатов.

Такова Гильбертова проблема о знаменитой теореме Дезарга28: в двух треугольниках ABC и А,, В С, соответствующие вершины которых

(А, А,,) (В, В,,) (С, С,,) лежат на прямых а, Ь, с, сходящихся в одной точке

О, соответствующие стороны (a, a,,) (b, Ь,,) (с, с,,) пересекаются в точках А, В, С, лежащих на одной прямой О и обратная теорема.

Эта теорема вместе с плоскостными зрительными аксиомами представляет основание зрительной плоской геометрии, иначе геометрии поло-жения.

Доказательство ее фузионистическое, для чего приходится пользоваться стереометрическими зрительными аксиомами. Но есть ли в этом необходимость? Молено ли эту планиметрическую теорему вывести только из плоских зрительных аксиом?

Вот аксиоматическая проблема, которая ставится Гильбертом - типичная задача современной аксиоматики, для которой он получает отрица-тельное решение, подбирая очень остроумно логические эквиваленты прямых точек.

Задача Гильберта - типичная задача современной аксиоматики.

Логические эквиваленты для объектов геометрии Лобачевского ищут в евклидовом пространстве; эквиваленты объектов евклидова пространства - арифметические.

Для оправдания арифметики эквиваленты следовало бы искать в чисто логической сфере.

§ 7. Я не буду говорить о том, как далеко пошли в этом направлении, но я намечу другого рода проблемы, которые еще никем не решались, но которые, вне сомнения, явятся проблемами будущего и при этом, прибавлю, недалекого будущего.

Прежде всего, выдвигается проблема об апагогических доказательствах. Всякое апагогическое доказательство предлагает приложение закона исключенного третьего: может быть А или не-А и ничего третьего. Предполагается, что имеет место не-А и отсюда выводится абсурд - отрицание верного положения С - не-С. Таким образом, в начале доказательства утверждается альтернатива: А или не-А.

Обратно, если в начале или в самом ходе доказательств прилагается закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от противного, или последнее содержится в доказательстве, как составная часть. В самом деле, приложение его предполагает в начале или в ходе доказательств альтернативу В или не-В и снятие одного числа альтернативы путем доказательств его невозможности. Если снимаете В, то В приводится к С, к отрицанию заведомо верного положения, то можно сказать, что положение В доказывается апагогичесіси. Если снимаете не-В, то имеем опять апагогическое доказательство в замаскированном виде. Заменяя В через не-В, получаем его в явной форме, не-В доказывается приведением не-(не-В) к не-С (абсурду)25.

Аксиоматическая задача о том, можно ли привести доказательство какого-либо положения А исключительно прямым путем, сводится к зада- че о выводимости А из данной системы постулатов с помощью только двух законов формальной логики: закона тождества и закона противоречия (без закона исключенного третьего).

Эта аксиоматическая проблема представляется частным случаем следующей более общей.

Все постулаты разделяются на три группы:

: A,, A,, А„ А„

:В„В2,В3,Вп

: С„ С,, С3, С„

Спрашивается, возмолено ли вывести теорему Н только из группы (А) и (В), причем к группе (А) прилагается, а к (В) не прилагается закона исключенного третьего.

§8. Выпрямление евклидовых доказательств достигается только путем введения новых аксиом, относящихся к бесконечности30.

Логическая сеть, образованная косвенными доказательствами, богаче сети, образованной прямыми, если в основе той и другой лелсат те лее математические постулаты, ибо косвенные доказательства вводят логическую аксиому исключенного третьего и для обогащения второй требуется вначале этой сети поставить один из новых математических постулатов.

Современная математика движется, главным образом, апагогичес-кими доказательствами2'', но она упорно остается при наследии прошлого - вере в возможность хотя бы не прямых доказательств всякого истинного положения. Стараясь выпутаться из затруднений, она присоединяет к бесспорно очевидным постулатам другие, уже сомнительной степени очевидности, уменьшая и далее уничтожая убеждающую силу доказательств, сводя последнее к логическому выводу более сложных положений из более простых, но уже не очевидных.

Так, Гильберт в своих "Основаниях Геометрии", стараясь дать строго формально-логическое построение геометрии отказывается от евклидовых доказательств методом положения первого случая конгруэнтности треугольников, возводя это положение в постулат31.

Неравенство в степени очевидности различных очевидных положений - это психологический факт, который был вначале определенно подчеркнут рационалистами и с которым следует считаться.

Положим, что некоторое положение И выводится из постулатов А В, С, D, Е, но не выводится из укороченной системы В, С, D, Е. Эти постулаты различной степени очевидности, пусть А - то, которое имеет наименьшую степень очевидности.

Измените единовременно в разных отношениях степени очевидности всех постулатов, и очевидность А окажется под порогом сознания, Н окажется улсе не выводимым из очевидной аксиомы, мы получаем не-доказуемое, но во всяком, случае истинное, положение. Чисто психоло- гичесісий признак очевидности вряд ли связан с чисто логическими свой-ствами сети, образуемой положениями.

Психологическая гипотеза, что то конечное число положений, из которых выводятся логически все остальные, принадлежит к очевидным, маловероятна.

Недоказуемость некоторых положений теории чисел, за правиль-ность которых довольно красноречиво говорят факты, находит свое объяснение не в слабости нашего ума, а в том, что те положения, на которых стараются обосновать доказательства, всегда выбираемые с признаком очевидности (ибо иначе невозможно было бы убедить), каковыми являются положения, лежащие в основе арифметики, недостаточны для этого.

Задача о выводе из очевидных постулатов теоремы Р является также неразрешимой, как ее вывод из некоторой другой группы постулатов31.

Приводимый Гильбертом взгляд на разрешимость в положительном или отрицательном смысле всякой поставленной математиками проблемы, следует признать неправильным.

Не две только возможности: знаменитое уравнение Ферма имеет еще неизвестные для нас решения или существует доказательство отсутствия таких решеиші, но еще и третья: невозможность и решения этого уравнения и доказательства этой невозможности.

Проблема о логическом обосновании положения должна ставиться не так; доказать это положение, понимая под этим вывод его из очевидных положений, а так: определить, может ли данное положение быть доказано, т.е. выведено из очевидных положений, если это возможно, найти этот вывод32 - Совершенно таким же образом задача о решении уравнения 5-й степени должна ставиться не так: решить уравнение, а так: может или данное уравнение разрешиться в радикалах и, если может, то найти выражение для корня; или задача об интегрировании в конечном виде должна ставиться не так: найти данный интеграл, а так: может ли данный интеграл выразиться в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных и, если может, найти для него выражение32.

Аксиоматика33 воспитывает человеческий ум в критическом от-ношении к проблемам34.

Лобачевский является величайшим революционером в области абстрактных наук, хотя он и не вполне сознавал, в чем состоял революционный характер его начинаний.

Революция Эйнштейна по внешности крупней, она охватывает большие области знания, но первый толчок был более глубокий - он принадлежит Лобачевскому, и Эйнштейн только продолжает дело Лобачевского. Но, зная судьбу революции Лобачевского, можно предсказать й судьбу революции Эйнштейна, которая, впрочем, в последние годы начинает вырисовываться.

У нас осталась евклидова геометрия как геометрия здравого смысла. Ни Лобачевский, ни Эйнштейн не дали новое решение старой проблемы, старые решения остались правильными, но они поставили новые проблемы, открыв пути к их разрешению, - они не разрушили старых зданий, но положили основу для новых, еще более прекрасных35.