Лобачевский и основные логические проблемы в математике.

Известия Северо-Кавказского университета, 1927, т. 1(12), с.78-95.

Речь, прочитанная на торжественном заседании в память столетия открытия неевклидовой геометрии.

Вуидт в следующих словах формулирует закон гетерогонии целей; "Воля всегда проявляется так, что результаты постоянно более или менее выходят за пределы первых мотивов воли".

Такова, например, совершенно не обоснованная вера в то, что всякое уравнение разрешается в радикалах, Такова необоснованная вера в то,

г dx

что все интегралы, даже I ¦ . приводятся к интегралам

VI + х4

рациональных функций и выражаются в конечном виде (см.: Lettre ХШ d'Euler a Goldbach). Такова вообще вера в то, 1гго решение проблемы в частном случае при введении некоторых ограничительных условий Q способствует решению проблемы в общем случае. Вместо проблемы Р

решается (РП), где Q подбирается так, что не поддающаяся в общем случае решению задача решается при этом ограничении. Весь метод обычно зиждется на этом ограничительном условии. Если снять его, то разрушится и вся постройка. Вообще решение проблемы при ограничительном условии Q ничего не дает для решения общей проблемы, ибо метод для решения Р при предположении, что Q не имеет места, будет тот же, что в общем случае, т.е. при п и без О безразлично.

1 Построение корня уравнения xJ = а (решение Делийской проблемы) сперва вовсе ие являлось задачей более простои, чем решение уравнения хJ+ах = b и арабские математики не находили оснований сводить вторую задач)' к первой. Задача о построении корня уравнений 3-й степени с помощью циркуля и линейки с развитием арабской алгебры должна была превратиться в задачу о нахождении иррационалыюстей по X книге "Начал" Евклида, удовлетворявших этому уравнению, а в дальнейшем, когда алгебра расширила сферу радикальных выражений, - о разрешении уравнений 3-й степени с помощью радикалов 2-й степени.

Таким образом была поставлена задача о решении в радикалах куби-ческого уравнения, которое вскоре и было решено в этом смысле Тар- таглия и Карданом. Затем вскоре такая же задача была решена Ферари для уравнения 4-й степени.

Этическая проблема подвергается метаморфозе.

Вывод моральных норм из эгоистических интересов, из единственного стремления организма к самосохранению (Suuin esse conservare), конечно, Спинозой ("Этика") понимается совершенно ішаче, чем дарви-нистами второй половины XIX столетия. Мы имеем сперва логический вывод всей системы альтруистической морали из эгоистических предпосылок, здесь иет ни слова о том, каким образом возникла альтруистическая мораль.

У сенсуалистов XVII века исследование генезиса морали является только средством для эгоистического ее обоснования. Любимая их мысль, что всякий альтруистический поступок - это эгоизм, скрытый под маской, созданной культурой, что на более низких ступенях культуры, приближающих к естественному состоянию, - маски уже нет. Гельвеций отстаивает тождество блага и полезного. Честь - это привычка к поступкам, полезным для общества. Отсюда заключение, что моралист и законодатель прежде всего должны аппелировать к пользе индивидуума.

Гельвеций прежде всего моралист, он пытается обосновать этические нормы на эгоизме и, верный характеру того времени, обращается к "методе происхождения", старающейся подойти к естественному состоянию. Но в дальнейшем генетическая этика является уже самоцелью. Мы имеем уже ие вывод альтруистических норм из эгоизма, а объяснение их происхождения из эгоизма дикого человека.

Те явления радиоактивности, которые обещают решение экономической проблемы алхимии, подводят не к решению алхимической проблемы, а к доказательству ее невозможности. Эту проблему постигает совершенно та лее участь, что и другие проклятые проблемы, иа которые человек веками тратил силы. Превращение в золото металла с меньшим атомным весом потребует та кой энергии, которую нельзя купить на получаемую ценность, превращенный лее в золото элемент с большим атомным весом потребует неблагородный металл в количестве, стоющем дороже, чем получаемый продукт.

Одним словом, химик окажется в таком же положении, что Муассон при добывании алмаза из нагретого до 3000° сплава железа и угля.. При затрате тока в 31500 вольт, получались крошечные кристаллики алмаза. Но Содци замечает, что ценность полученной таким образом материи будет ничтожна в сравнении с теми неимоверными количествами энергии, которые будут выделяться при этом процессе. Энергия элементов вещества, освобожденная от заколдованного сна, в который он погружен природой, заняла бы вскоре первое место в народном хозяйстве. В сравнении с ее громадным значением золото явилось бы только побочным продуктом разложения.

Таким образом, вместо алхимической проблемы, мы решаем другую, тоже экономическую проблему.

Основание привилегированности механики чисто психологическое, так как именно механические явления имеют наибольшее значение в обыденной жизни при невысокой культуре, вследствие чего механика и развивается раньше других отделов физики, занимаясь сведением более сложных механических явлений к более простым. Современный же химический атом представляется системой электронов, частиц, несущих положительные и отрицательные заряды и являющихся последними неделимыми. Положительный электрон уподоб-ляется солнцу, окруженному планетами - отрицательными электронами, находящимися в движении, но образующими вообще неустойчивые системы, подвергающиеся распадению,

»

О

Было бы глубочайшим заблуждением полагать, что задача вообще неразрешимая об интегрировании в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных или в квадратурах эволюционировала в задачу вообще разрешимую.

10 Аксиома или 5-й постулат "Начал" Евклида эквивалентен утверждению о единственности прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку. Геометрия Лобачевского получается из евклидовой при замене этой аксиомы (постулата) на ее (его) отрицание. " Геометрия Рамуса представляет не что иное, как комментарии к "Началам" Евклида, но не соединенные с их переводом (как. например, комментарии его современника. Клавші), а изданные отдельно. Для Рамуса и рамистов самым важным в геометрии является определение, а за ним уже теоремы.

Главный недостаток Евклида, по Рамусу, в том, что он идет от частного к общему, вместо того, чтобы идти от общего к частному. Параллелизм прямых Рамус подводит под общее понятие параллельных линий (гак прямых, так и кривых). Параллельными являются не только прямые, но и две концентрические окружности. Характерным признаком, определяющим параллельность, является равно удаленность. См. мое сочинение: "Фплософско-Математические идеи XVI века" [наст, изд.]. О Рамусе:

С. Waddington: Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions.

Dialecticae Libri Duo. 1586. Geometriae Libri XXVIL Basilae, 1569. Scliolarum Mathematicarum Libri novem et triginta. Basileae. 1569. Francfurti. 1569.

Сочинения рамистов: Methodus admirandarum mathematicarum novem libris etc. autore loahaimo Henrico Alstedio. Herbornae. 1623. Об Алште- де: Cantor II ч., 19. Kastner. III. 434-438. RiH Quaestiones. Geometriae Oxoniae 1665. Рамическая тригонометрия: Funkii. 1584. Алгебра Salignaci. Рамическая диалектика: Caesari. 1552, Hunneae, Tousacae, Ursini.

12 Анализ определения параллельных, как прямых равноотстоящих, приводит Клавия к сознанию необходимости оправдания этого определения.

Следует убедиться, что линия, все точки которой равноудалены от прямой, также прямая. И в этом состоит первое положение теории параллельных Клавия. Но при этом положении нет в собственном смысле доказательства, а только пояснение; имеющее целыо повысить степень очевидности этого не вполне очевидного положения. Все сводится к ссылке иа то, что линия с равноотстоящими от данной прямой точками должна обладать однородностью, равно лежать всеми своими точками, причем делается попытка пустить в ход определение 4-е первой книги "Начал" Евклида, остающееся у самого Евклида неиспользованным. Дальнейший путь через теорему: если к прямой восстановить два перпендикуляра и соединить концы равных отрезков прямой, то эта

прямая будет перпендикулярна к обоим перпендикулярам. Но через сто лет после Клавия вид этой главы геометрии совершенно меняется. Центр тяжести переносится с определения на аксиому. Уже не ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям логики, но берется такое, из которого можно было бы дойти до дели, проходя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не выставляя требования совершенного минимума, чуждого XVII веку. У Борелли параллельные прямые, а ие линии вообще, определяются как перпендикулярные к одной и той же прямой. (Clavius. Crist. Euclides eleinentonun libri XV Opera t. I.

Аксиоматика Херигона (Herigonus Cursus Matliematicus. Paris. 1634.) - это коллекция очевидных истин, причем автор уверен в ее полноте. Его совершенно ие интересует вопрос; зависимы или не зависимы эти истины...

Против требования минимума говорит правило Паскаля: "Не следует ничего доказывать, что так очевидно, что не нуждается в каком- либо более ясном средстве доказательства". Pascal. Oeuvres. III. 163182.

Арно, выступая в "Nouveaux elemens de Geometric". Paris. 1683, против недостатков Евклида с точки зрения пор-роялевской логики, переделывает "Начала", изменяя порядок теорем и соответствующим образом доказательства.

Изучение параллелизма прямых углов у него предшествует равенству треугольников, ибо угол, по его мнению, более простой объект, чем треугольник.

Арнольднанского типа большинство крупных французских учебников до эпохи энциклопедистов;

Lamy, Sauveur, Camus, Varignon, de la Caille, Rivard и другие. В русской методической литературе влияние сказывается иа "руководстве" Остроградского.

К учебникам Лежандровского типа следует отнести кроме "Элементов" Лагранжа, оригинальных и переработанных Бланше, учебник, имевший огромное значение:

(Lacroix Elemens de Geometrie a L'usage de 1 'Ecole Normale. Paris. 1814.). Упомянем Gamier, Vincent, Sonnet, Guiletnin и наиболее обстоятельный учебник Лагранжевского типа: Роше и Комберусс.

Характерно для этой эпохи сочинение, не имеющее ии научного, ни методического значения: Tompson. Geometrie sans axiomes. ("Геометрия без аксиом".).

Объекты геометрии превращаются из чистых предметов разума в объекты опыта. Если, по Арно, "душа человека, как бы с первых дней детства, как бы вся погружена и обмотана чувствами и имеет только темные и смутные восприятия предметов, оказывающих действие на ее тело", так что вся ее дальнейшая эволюция представляется своего рода очищением, то для де ля Шаппеля кристально чистая душа ребенка заволакивается метафизическим туманом все больше и больше, загораживающим путь к истинному знанию, основой которого являются именно эти презираемые рационалистами чувства: "II est done evident que les premiers elements de Geometrie posent sur la matiere le plus, expose a nos senses" (Очевидно, что первичные элементы геометрии закладываются в материале, в наибольшей степени представленном нашим чувствам). (De la Schapelle. Institutions de Geometrie. 1765). К этому направлению принадлежат учебники: Clairaut, Bezout, Bossut и другие.

Сюда следует отнести и капитальные сочинения: Bertrand Developpement nouveau de la partie elemenlaire des Mathematiques. Geneve, 177S. Взгляды математиков этого направления складываются под влиянием "Опытов о человеческом рассудке" Локка, логики и трактатов о чувствах Кондильяка.

Здесь интересно привести мнение д'Аламбера об аксиомах, высказы-ваемое им в Энциклопедии.

В большинстве аксиом он видит только выражение одной и той же идеи двумя различными знаками или словами: "Разве тот, сто говорит, что два и два составляет четыре, обладает большим знанием, чем тот, кто удовлетворится сіштать, что два и два составляют два и два?". Лобачевский в сочинениях о "Началах Геометрии" говорит: "Первые понятия, с которых начинается какая-либо наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить простым и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врожденным не следует верить. (См.: П.С.С. по геометрии Н.И. Лобачевского). Д'Аламбер говорит более определенно:

"Мы сперва рассматриваем тела со всеми их качествами, понемногу производим в уме разделешіе и абстракцию этих различных свойств и переходим к рассмотрению тел как частей пространства проницаемых, делимых и оформленных".

18 Во вступлении к новым началам геометрии (стр. 13, изд. Хар. Мат. Об. Харьков, 1912.) Лобачевский старается убедить не в логической возможности, сводящейся к непротиворечивости, а в реальной возможности, он старается убедить в том, что в уме нет никакого противоречия в предположении реальности отношений между углом и длиною, которая ему представляется аналогичной отношению между силой и расстоянием.

19 Ни у одного математика до Лобачевского и Больяя ие хватило храбрости публично выдвинуть рад теорем, вытекающих из постулата, которым заменялся Евклидов постулат о параллельных - за геометрическую систему. Мне представляется, что у Гаусса был еще другой страх, кроме страха что он не будет понят (см.: Р. Бонола - "Неевклидова геометрия", стр. 156). Мотив для иеопубликования своих опытов по антиевклидовой геометріга (Engel Stackel. S. 209), о котором он не пишет, говоря о "Ge- schrei der Bootier" (крике беотийцев) - это неуверенность в том, что его рад теорем, продолженный дальше, не встретит противоречия, страх того, что его работа послужит в стыд ему и в славу другого, который двумя—тремя теоремами, прибавленными к антиевклидовой геометрии, скомпрометирует его, с другой стороны - получит ту славу, которой добивался тщетно Гаусс.

Швейкарт ограничивается только заметкой, частным образом переданной Гауссу, печатное же сочинение стоит па точке зрения евклидовой геометрии.

Таурипус в Geometria prima Coloniae, 1826 (Engel-Stackel. S. 273.) замечает, что найденное им доказательство постулата о параллельных не вполне его удовлетворяет и прибавляет, что исследование вопроса, каково истинное значение логарифмическо-сферической геометрии, со-держит ли она что-либо возможное или только мнимое, это достойная задача для ученых, ио переходящая цэаницы элементов геометрии.

w Саккери ищет новые логические приемы, он употребляет сомкнутую на заключении форму простого апагогического доказательства (см. мою работу: Об апагогических доказательствах. Ростов, Научный Вестник. 1922).

Следует доказать В, А, (т.е. если В, то А) из В не-А выводится В, А. Этот прием употребляется Евклидом только один раз: при доказательстве 12-го положения 9-й книги "Начал". (Euclides ab отпї naevo vindicalus autore Hieronymo Saccherio. Mediolani. 1773, Engel-Stackel. S. 42.)

21 "Я отсюда, - говорит Ламберт, - почти заключаю, что третья гипотеза имеет место; в случае не плоскости она. не так легко поддается, как вторая". - § 82. Theorie der Parallellinien (Engel-Stackel. S. 137).

21 Больяю принадлежит исследование свойств параллельных, независящих от евклидовости, тождественность геометрии на орисфере с обыкновенной геометрией на плоскости, доказательстве! независимости сферической тригонометрии от постулата о параллельных и некоторые геометрические построения, независящие от него.

(Bolyai Johann, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens. 1832.)

23 Согласно Гербарту, пространство ие представляет только субъективную форму созерцания, в каковом случае оно было бы только призракам. Но всякий призрак, все кажущееся указывает на реальное отношение в объективном мире. Субъективной форме обязательно должна отвечать объективная, хотя бы и отличная от нее.

Понятие об этой форме получается обычной гербартовской методой исправления понятии: такое намерение построения реального, по Гербар- ту, умопостигаемого интеллигибельного пространства предполагает отказ в некоторой мере от кантовского взгляда на пространство, как чистую форму созерцания (см.: "Критика чистого разума"). Пространство, по Гербаріу, не только форма созерцания, ио прежде всего понятие. Для построения умопостигаемого, пространства следует признать и выделить концептуалистические элементы пространства и подвергнуть их очистке от кроющихся в них противоречий.

В конечном итоге такой метафизической обработки, пространство должно явиться понятием, причем свестись к отношениям между реалиями, т.е. теми первичными монадами, к которым метод исправления сводит всю вселенную.

Умопостигаемое пространство Гербарта, конечно, нельзя представить, но его можно мыслить, причем в самых общих абстрактных понятиях. Простыми, уже неразложимыми, элементарными отношениями, из которых слагается пространство как сложное отношение, Гербарт выставляет те, которые определяются предлогами "с" и "иа". Гербарт считает возможным снятие созерцательности с этих отношений и сведение их к чистым понятиям. Полное существование двух реалий вместе противополагается их существованию не вполне. Существование а на b может быть существованием в большей или метшей мере. Риман исправляет или, лучше сказать, перерабатывает понятие пространства, ие вскрывая противоречий в евклидовом пространстве, но поды-маясь к идее многообразия, объемлющей евклидово пространство, обобщая характерные признаки последнего, выраженные математически. (Rietnanii. Uebera die Hypotliesen die der Geometrie zu Gnmde liegen. Gotting. AbhandlugenXIII. І868. N. Grassman. Die lineale Ausdehimgslehre. Leipzig. 1844.)

24 Различие между Риманом и Гельмгольцем (Helmlioltz. Ueber die That- sachen die der Geometrie zu Gnmde liegen) то, что последний старается опытным путем обосновать свои постулаты. Он выходит из простейших фактов, характерезующих движение в трехмерном пространстве, которое, согласно эмпиристической гносеологии XIX века, и создает понятие о пространстве. Это - определяемое™ элемента тремя координатами, существование подвижных твердых тел, свободная подвижность их и моиодромиость пространства, состоящая в возможности движения вокруг точки, приводящего в первоначальное положение. Эти факты, выраженные в формулах аналитической геометрии, естественно обобщаются и на большее число измерений. Другие же факты, тоже наблюдаемые в евклидовом пространстве.

признаются, таким образом, уже не характеризующими пространство как таковое. С. Ли видоизменяет гипотезы Гельмгольца таким образом, что является возможной чисто математическая их обработка. (S. Lie. Theorie der Transfbrmationsgnippen. Leipzig. 1828-1893, Т. ПІ,)

Beltrami. Saggio di interpretazione della Geometria non Euclidea. Giornal di Mat, Vol VI. 1868, фр. Пер.: Houel. Annales Scient. de l'Ecole Normals Т. VI. 1869.

Klein. Ueber die sogenannte NiclU-Euclidische Geometrie. Math. Aim. VI. 1871. Т. VI. 1873. VIII. 1874,

Poincare. Sur les hypotheses fondainentales de la Geometrie. Bulletin de la Soc. Mat. de France XV. 1887,

Гильберт, Основания Геометрии. Петроград. 1923. С. 63.

2* См. мое сочинение: Об апагогических доказательствах. Ростов. Научн, Вестник. 1922.

Выпрямление доказательств достигается большей частью введением постулатов, относящихся к бесконечным классам. К этому следует прибавить еще те логические аксиомы, которые узаконивают вывод из бесконечного ряда силлогизмов, лежащего в основе полной математической индукции, И. Менделеев (в "Методе математики") относит это к сверхлогическому в математике. Но признание существования бесконечного числа силлогизмов, связующих сложения А, В, С, Р, Q, R, и вывод из истинности А, В, С, истинности Р, Q, R, не более сверхлогичиы, чем всевозможные постулаты, лежащие в основе современной теории множеств.

Аксиома IIL. Если для двух треухольников ABC и А,В имеют место конгруэнции

АВ=А,В,, АС=А,С1, ZBAC^ZB^C, то всегда имеют место и конгруэнции ZABC=ZA!B1Cp ZACB=ZA[CIB,

Существуют теоремы недоказуемые, хотя и истинные. Для доказательства таких теорем у нас просто не хватает очевидных постулатов. Такие положения доллсиы найтись среди очень простых положений теории чисел и ситуациоииой геометрии. Видимо, такова знаменитая теорема Гольдбаха, что всякое четное число представляется суммой двух простых чисел, и теорема о бесконечном числе пар последовательных простых чисел с равной разностью.

Можно предполагать, что такими же являются и следующие весьма общего характера положения:

Всякая форма ш (х), выражаемая в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных и алгебраических функций, алгебраически неразложимая, иначе говоря, не представляющаяся произведением а (х) Л (х), где & (х), Л (х) при всяком целом х тоже целые числа, содержит бесконечное множество простых чисел. Только в случае более точного

определения формы может существовать доказательство этого положения, так как из одного условия о неразложимости, конечно, ничего нельзя вывести.

Хорошо известно доказательство такой теоремы для ю(х) = ах+р Может будут построены доказательства и для некоторых более сложных выражений, например, для ах2 + Ьх + с (а, Ь, с, взаимнопростые и Ь2 - ас [ 0, но для произвольно написанных со (х) такое доказательство явится улсе невозможным.

Другое положение о невозможности существования формы (о (х), со-держащей исключительно простые числа. Мы идем дальше, мы утверждаем, что в теории чисел существует неизмеримо больше недоказуемых истинных положений, чем доказуемых.

Вообще больше теорем недоказуемых, чем доказуемых. Если на первый взгляд представляется, что в геометрии всякая задача молеет быть решена, то только потому, что те задачи, которые мы рассматриваем, - это простейшие, теснейшим образом связанные с очевидыми постулатами, лежащими в основе геометрии.

Рассматриваемые нами геометрические объекты - треугольник, четырехугольник, круг и т.д. настолько лее просты, как просты рациональные дроби, рассматриваемые в начале курса интегрального исчисления.

Чтобы получить неразрешимые задачи и недоказуемые свойства следует усложнить эти формы так, чтобы явилась необходимость, наряду с постулатами меровой геометрии, и в постулатах ситуационной геометрии, которые уже определенным образом будут недостаточны. Задача о ветвях алгебраической кривой в общем случае всегда остается именно в силу этого неразрешимой.

В настоящее время улсе никто не верит в то, что всякая функция, выражающаяся в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных, молеет быть проинтегрирована в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных. Те лее, кому приходилось над этим размышлять, знают, что в большинстве случаев такие выражения не интегрируемы в конечном виде, более того, если написать совершенно произвольно какое-либо выражение (далее рациональное) от х, то молено быть уверенным, что оно неинтегрируемо. При подборе примеров неинтегрируемости для моего сочинениям "Об интегрировании трансцендентных функций в конечном виде" (Изв. Варш. Универ. 1913) я брал выражения наугад, ио примеры интегрируемости я получал скрытым от глаз читателя дифференцированием. Правильная постановка проблемы интегрирования в конечном віще: Определить, молено ли выразить данный интеграл J f(x)dx какой—либо трансцендентной определенного конечного класса в лыовиллевском смысле и, если возможно, то найти это выражение.

В то время, как частные аксиоматические проблемы можно считать вполне определенными, общая проблема об основании геометрии является пока ие вполне определенной.

Паш, ставящий в основу геометрии простейшие эмпирические данные, лучшим образом характеризующие пространство, и Пеаио, ставящий в число постулатов непростую истину о непересекаемости в одной точке трех диагоналей четырехугольника (G. Peano. I principii die Ceometria logicamente exposita. Torino. 1889), решают, собственно говоря, различные проблемы.

Должно ли ставиться при построении системы геометрии условие очевидности , должны ли постулаты быть аксиомами? Если да, то системы Пеаио и Гильберта не годятся, ибо пользуются совершенно неочевидными постулатами.

Но что при выборе постулатов должно заменить очевидность? О простоте, выдвигаемой Пашем, молено спорить больше, чем об очевидности.

Как бы ни подчеркивался формальный характер системы, очевидность если не всех, то большей части постулатов принимается во внимание, Возведение определений в аксиомы по существу не меняет дела. Объект А определяется признаками сс,|3,у , которые даются очевидными положениями, но тот же объект молено определить и признаками а1, у 'р1, которые даются не очевидными положениями. Нет основания предполагать, что минимум постулатов попадает именно на группу положений очевидных или вообще содержащих очевидные положения.

Материалом для этих заметок служат мои большие работы: "Схоластика и Математика", "Законы эволюции проблемы". Печатание больших работ в настоящее время невозможно, вне сомнения эти работы я не увилсу в печати.