Задать вопрос юристу

  1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте  

Попытаемся продемонстрировать достоинства нефундаменталистской философии математики на примере проблемы возникновения теоретической дедуктивной математики.
Долгое время считалось, что аксиоматический метод является единственно приемлемой формой изложения математических результатов.
Положение изменилось в XX столетии, когда было начато исследование общей картины развития научных знаний в странах Древнего и Средневекового Востока. Исследования математических достижений древних восточных цивилизаций, проведенные рядом ученых (особое значение имели труды О. Нейгебауэра и Дж. Нидэма), показали, что укоренившееся в научном мышлении представление об одновариантности развития математики является скорее данью традиции, нежели положением, покоящимся на твердом фундаменте исторических фактов. Ни в одной из восточных цивилизаций математика так и не была преобразована в науку, базирующуюся на немногих первичных определениях и аксиомах. И если в отношении Древнего Египта и Вавилона этот факт еще можно постараться объяснить угасанием данных цивилизаций ко времени расцвета эллинской культуры, то подобная аргументация по отношению к культурам Индии и Китая совершенно невозможна: в этих странах наивысшие достижения науки были еще впереди. В подобной ситуации напрашивается вывод о невозможности рассмотрения математики в качестве феномена, изолированного от культурных условий, сложившихся в рамках данной цивилизации. Уникальный феномен, который представляет собой дедуктивная математика, похоже, трудно отделить от других созданий эллинского гения. Осознание зависимости феномена дедуктивной математики от обстоятельств времени и места заставило современных историков науки обратить пристальное внимание на проблему ее зарождения.
Действительно, исследование математики восточных цивилизаций показало, что возникновение аксиоматического метода невозможно объяснить одним количественным ростом математического знания. Если бы развитие математики определялось полностью количественными параметрами, то дедуктивный метод должен был возникнуть всюду, где объем математических сведений превысил некоторую «критическую массу». В частности, это должно было неизбежно произойти и в Китае, и в Индии, где (в отличие от Древнего Египта и Вавилона) математическая традиция не прерывалась, а объем знаний, накопленный в Средние века, был сопоставим с объемом знаний древнегреческой математики конца IV в. — времени возникновения аксиоматического способа построения знания. Тем не менее математика в этих странах так и не стала дедуктивной наукой.
Таким образом, традиционная схема возникновения дедуктивного метода, опирающаяся на вульгарный вариант закона «перехода количества в качество», плохо согласуется с реальной историей математики.
Недостаточность чисто «количественного» объяснения феномена дедуктивной математики свидетельствует о необходимости поиска специфических предпосылок, внешних по отношению к математике как таковой, без которых обретение математикой дедуктивной формы было бы невозможно. При этом необходимо, чтобы выбор тех или иных исторических предпосылок происходил не при помощи интуиции исследователя (которая может и подвести), а на основе объективного критерия, внешнего по отношению к истории как таковой. Такой критерий можно «извлечь» только из анализа самого дедуктивно-аксиоматического метода, точнее его «идеи».
Указанная «идея» содержится в принадлежащей С.А. Яновской характеристике математического метода рассуждений, приведенной в § 1.1. Наличие четко обозначенной тенденции отталкивания от чувственно или мысленно созерцаемой реальности в процессе построения системы знания (после фиксации ее предмета), содержащейся в этой характеристике, является достаточно строгим критерием различения дедуктивных и недедуктивных наук, позволяющим объективным способом выделить истинные предпосылки возникновения дедуктивно-аксиоматического метода. Этот способ опирается на анализ той роли, которую аксиоматический метод играет в современном научном познании.
Прежде всего следует выяснить, связан ли способ выведения фактов из определений и аксиом только с теоретическими науками (как это имеет место в геометрии) или же он может эффективно применяться и в практически ориентированной системе знаний.
Основной целью ученого, занимающегося теоретической наукой, является приращение имеющихся в данной науке знаний. Его деятельность исходит всегда из наличного знания и завершается получением нового знания, что может быть выражено следующей схемой: понятие — дело — понятие. В практической деятельности, напротив, человек нацелен на непосредственно значимый для него результат, и те или иные сведения интересуют его лишь постольку, поскольку способствуют достижению наме- ченного результата. В этом случае знание вторично по отношению к поставленным целям и соответствующая деятельность подчиняется иной, нежели в предыдущем случае, схеме: дело — понятие — дело. Противоположность установок теоретической и практически ориентированной науки («знание ради знания» и «знание для конкретного дела») приводит к существенному различию принятых в этих науках критериев истинности.
Ложность системы правил, положенных в основу определенного вида практической деятельности, проявляется только тогда, когда фактический результат их выполнения оказывается отличным от ожидаемого. В случае соответствия фактического и ожидаемого результатов рассматриваемая система правил считается «практически истинной», хотя с точки зрения теории это может быть и не так. В теоретической системе знаний отсутствие противоречия между утверждением науки и реальностью само по себе еще не служит доказательством ее истинности. Важно, чтобы помимо соответствия внешней действительности это утверждение внутренне согласовывалось бы с остальными положениями теории. В отличие от теоретической науки, в практически ориентированной системе знаний соответствие ее утверждений действительности является не только необходимым, но и достаточным условием успешной деятельности, вследствие чего в ней отсутствует потребность в специальной проверке всех положений на внутреннюю согласованность.
Характерной особенностью дедуктивной науки является то, что содержательные представления относительно изучаемых ею объектов привлекаются лишь однажды, при формулировании начальных положений. В дальнейшем при доказательстве утверждений данной науки стремятся к тому, чтобы в процессе вывода не использовалось ничего сверх оговоренного ранее. Так как в дедукции представления, связанные с реальностью, должны использоваться лишь в той мере, в какой они отражены в исходных посылках, то в своих выводах подобная наука не может выйти за рамки содержания, имеющегося в неявном виде в ее основоположениях. Она и не может быть не чем иным, как систематическим развертыванием, выявлением этого содержания. Поскольку процесс логического вывода представляет собой получение нового знания из наличного знания, то в силу этого он является теоретической деятельностью. Весь вопрос в том, может ли теоретическая деятельность такого рода вызываться нуждами практики или же необходимо, чтобы объекты данной деятельности рассматривались как самостоятельные сущности, изучение которых представляет интерес независимо от практических приложений.
Выше уже говорилось, что проверка утверждений на соответствие их действительности естественным образом входит в любую практически ориентированную систему знаний. В этой связи требования дедуктивной теории, разрешающей обращение к опыту только при формулировке начальных ее положений, выглядят не просто неуместными, но чем- то прямо противоположным по отношению к установке, разделяемой всеми прикладными науками. Этого противопоставления недостаточно, чтобы исключить возможность применения идеи аксиоматического вывода в практических целях, но вполне достаточно, чтобы исключить всякую возможность возникновения дедуктивного способа рассуждений в практически ориентированной системе знания.
Теперь важно выяснить, в рамках какой конкретной науки (или, возможно, одной из нескольких наук) мог зародиться аксиоматический метод. Заслуга подобной постановки вопроса принадлежит С.А. Яновской: «Почему в "Началах" Евклида геометрия строится аксиоматически, арифметика же нет? Почему вообще так поздно вошла в математический обиход система аксиом для арифметики натуральных чисел? Известно ведь, что наиболее распространенная теперь в литературе система аксиом Пеано было опубликована лишь в 1891 г., между тем как система аксиом Евклида стала общеупотребительной в геометрии со времен древних греков»[18].
Для того чтобы аксиоматический метод мог с необходимостью возникнуть в некоторой области знаний, важно, чтобы утверждения о свойствах объектов данной предметной области не допускали иного способа проверки, кроме повторения процесса мысленного их конструирования в соответствии с заранее принятыми постулатами построения. Цель аксиоматического метода не может сводиться к максимальной краткости изложения или к возможно большей его доступности. Современные аксиоматические изложения геометрии или логики представляют значительные трудности для человека, не имеющего склонности к математике. Отказ от использования содержательных представлений после завершения формулировки основоположений дедуктивной науки оказывается осмысленным только при условии, если главной целью является получение гарантий того, что сложные утверждения теории обладают не меньшей степенью истинности, нежели ее исходные постулаты и аксиомы. Без этой «сверхзадачи» никакая наука не будет преобразована в форму аксиоматической теории. Откуда же может возникнуть потребность в столь жестком контроле за степенью достоверности получаемых утверждений науки?
Если, как, например, в физике или химии, существует «внешний» способ проверки истинности утверждения теории, не задействующий всех использованных в его выводе гипотез и основоположений, то наличие каких-либо пробелов в выводе при его подтверждении данной проверкой не будет представлять серьезной опасности для его сохранения в составе науки, хотя согласие с «экспериментом» не свидетельствует само по себе о нежелательности устранения подобных пробелов внутритеоре- тическими средствами. При отсутствии «внешних» способов проверки дело обстоит иначе. В этом случае для устранения сомнений в правильности научного положения не остается ничего другого, как перепроверить шаг за шагом все ведущие к нему рассуждения.
«Внешняя» проверка утверждений теории возможна не только в естественных науках, где она предусмотрена, так сказать, по определению, но и в математических дисциплинах. Наиболее простой пример такого рода дисциплины доставляет арифметика.
Формула I + 2 + 3 + ... + я = я (я + ] )/2 допускает строго дедуктивное доказательство на основе аксиом Пеано, однако в смысле убедительности оно не только не превосходит, но даже уступает неформальному рассуждению, опирающемуся на расположение в противоположном порядке слагаемых из второго экземпляра искомой суммы под первым, после чего, ввиду равенства всех сумм подписанных одного под другим чисел, доказываемое соотношение становится очевидным. Чем же объясняется убедительность приведенного — заведомо недедуктивного — рассуждения?
Если число п невелико, то указанная выше процедура без труда может быть проделана с реальными предметами (например, камешками), замещающими отвлеченные числа. Так как операции счета с камешками тождественны в отношении результата аналогичным операциям с неименованными числами, то подобная процедура в состоянии убедить в справедливости рассматриваемой формулы для небольших п даже самого софистически настроенного оппонента. Поскольку рассуждение не зависит от величины параметра п, вскрывая по существу причину совпадения левой и правой частей равенства, то формула не может быть неверна и для остальных значений п. И здесь самому заядлому спорщику нечего было бы возразить.
Сходным образом обстоит дело и с другими, более сложными утверждениями теоретической арифметики. Каждое предложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» доказательством, как минимум не уступающим по степени убедительности формальной дедукции. Даже если для утверждения и не удается найти краткого оригинального доказательства наподобие приведенного выше, на худой конец можно ограничиться преобразованием аксиоматического вывода в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели. Последнее возможно по той причине, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и исторически могли быть осознаны лишь благодаря рефлексии над фактически осуществляемой деятельностью счета путем перевода этой деятельности в план мысленного созерцания и представления.
Так как вопрос об истинности аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость любого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием (или непринятием) исходных основоположений, в то время как после «квазипредметной» интерпретации этот момент условности полностью исчезает. Последнее же означает, что переход на точку зрения аксиоматики не дает никакого выигрыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений. Наличие независимой внешней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает ее «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму. Вследствие этого арифметика ни при каких обстоятельствах и не могла стать первой дедуктивной дисциплиной.
Внешний по отношению к логической дедукции способ проверки существует и для некоторых геометрических теорем. Так, в равенстве углов при основании равнобедренного треугольника можно убедиться простым перегибанием чертежа вокруг прямой, соединяющей середину основания с противолежащей вершиной (предварительное нахождение середины основания при этом излишне, поскольку она находится попутно в результате перегибания). Но уже теорема о том, что равенство углов влечет также и равенство смежных с ними углов, не может быть доказана с помощью подобных средств.
Стандартное школьное доказательство с использованием первого и третьего признаков равенства треугольников, имеющее реальный «предметный эквивалент», позволяет доказать совпадение лишь ограниченных частей смежных углов. Для того чтобы гарантировать равенство смежных углов как неограниченных частей плоскости, необходимо постулировать специальное свойство, логически эквивалентное однозначности продолжения прямой (у Евклида эту роль играет IV постулат о равенстве всех прямых углов). Только таким образом можно завершить указанное рассуждение, однако «цена» такого доказательства будет велика. Оно будет относиться уже не к реально проводимым линиям, имеющим ширину (даже самый совершенный в теоретическом отношении способ неограниченного продолжения прямой не может при фактическом исполнении приводить к одинаковым результатам), а к их мысленным прообразам, к идеализированным прямым, ибо только таким способом на место интуитивного представления о прямой может быть поставлено строгое понятие, пригодное в качестве основания для логических выводов.
Линии без ширины и точки, не имеющие частей, — вот подлинные объекты теоретической геометрии. Но тогда соединение точек прямой линией, ее продолжение до нужных пределов, проведение из любого центра окружности произвольного радиуса и нахождение при определенных условиях точки пересечения прямых не могут считаться заведомо выполнимыми операциями. Ссылки на реальную практику геометрических построений здесь не помогают, да и та, даже если отвлечься от различий между «физическими» и «математическими» объектами, не гаранта- рует всеобщности выполнения перечисленных операций. Выполнимость данных операций может быть только постулирована, причем лишь принятие этих допущений дает пропуск в царские врата геометрии.
Замене физических линий линиями математическими соответствует переход от реальной предметной деятельности к ее идеализированному аналогу — деятельности, осуществляющейся только в воображении. Геометрия не является в этом смысле чем-то исключительным среди математических наук.
В арифметике цифровые знаки играют ту же роль, что и чертежи в геометрии: замещая фактические действия с пересчитываемыми или измеряемыми предметами, они способствуют переносу соответствующей деятельности в план представления и воображения. При известном навыке бумага и карандаш становятся при действиях с небольшими числами излишними, и счет в уме становится более быстрым способом достижения требуемого результата.
Имеются, однако, и различия. Самым важным с точки зрения рассматриваемой проблемы является то, что в арифметике действия с числами в уме, на бумаге или на счетах различаются между собой лишь по форме. Содержание всех этих действий одно и то же, что и позволяет, в конечном счете, производить независимую от всякой аксиоматики проверку арифметических утверждений. В геометрии, в отличие от арифметики, нарисованный на бумаге чертеж играет по отношению к мыслимому с его помощью содержанию роль сугубо вспомогательную, способствуя удержанию в голове сложного хода логической мысли. Различие между идеализированными и фактически проводимыми линиями приводит к тому, что мысленная деятельность с идеальными геометрическими объектами оказывается намного «богаче» ее реального прообраза, как это имеет место в случае теоремы о смежных прямолинейных углах.
В случае возникновения сомнений в истинности утверждений, касающихся свойств идеальных геометрических объектов, обращение к практике реальных построений ничего не даст в отношении прямых и окружностей без ширины. Единственный способ удостовериться в правильности геометрических предложений заключается в оценке приемлемости принятых постулатов и проверке корректности сделанных на их основе, а также при помощи общих аксиом заключений. Отсутствие возможности «внешней» проверки геометрических теорем и превращает аксиоматический метод в естественный способ построения науки о свойствах фигур и тел.
Актуальным доказательство теоретического предложения может стать только тогда, когда предмет утверждения будет удерживаться перед умственным взором силой воображения независимо от способа фактического его конструирования, который воссоздается уже позднее, в ходе реально проводимого доказательства. Предположение о равенстве суммы углов треугольника двум прямым может быть выдвинуто на основе частного случая равносторонних треугольников, например при замещении ими плоскости, и это будет достаточно весомым аргументом в пользу поиска доказательства для общего случая. Здесь важно то, что выдвинутый в качестве гипотезы факт удерживается нашим воображением как легко распознаваемое целое на всем протяжении рассуждений, направляя и организовывая их в качестве цели всех действий вплоть до завершения дедуктивного доказательства. Выдвигая предположение, мы мыслим фигуру расположенной в «обыденном» пространстве, но, проводя доказательство, переносим ее (подчас не отдавая себе в том полного отчета) в «идеализованное», математическое пространство, «отделенное» от своего чувственного прообраза определениями и постулатами, относящимися не к видимым, но лишь к мыслимым точкам, линиям и поверхностям.
Особая роль геометрии в историческом становлении идей аксиоматического метода как раз и объясняется парадоксальным сочетанием указанных противоположных обстоятельств: хотя свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности и очевидности могут быть открыты и разъяснены независимо от какой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты. Существует ли еще хотя бы одна предметная область, утверждения об объектах которой удовлетворяли бы указанным выше свойствам геометрических предложений и теорем? Если бы никакая другая наука не могла обладать названными свойствами, это и означало бы, что геометрия является единственной теоретической дисциплиной, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод.
Двойственный характер объектов «первой дедуктивной науки», становящихся «идеальными» при окончательном изложении ее результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувственной действительности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает весьма жесткие ограничения на их возможную природу. В самом деле, они не могут существовать независимо от целесообразной человеческой деятельности (как это имеет место в отношении объектов оптики или астрономии), ибо в противном случае для утверждений теории нашелся бы внешний по отношению к дедуктивному выводу способ проверки. По той же причине объектами первой дедуктивной науки не могут быть и преобразованные трудом человека предметы природы. Только тогда, когда чувственно воспринимаемые объекты, будучи материальными предметами, существуют в таковом качестве как продукт целенаправленной деятельности, представляя собой формы деятельности, зафиксированные как вещь (или, иными словами, опредмеченные представления), только в этом случае при аксиоматическом изложении их «материальная оболочка» способна испариться без следа, сохранив в своем составе лишь те мыслительные действия, кото- рые при соединении с веществом природы и приводят к созданию зримо осязаемых объектов, характерных для рассматриваемой науки на стадии открытия и поиска обоснования ее результатов.
Природный субстрат, в котором воплощены объекты данной дедуктивной науки, не играет существенной роли, так как помимо пригодности к выполнению указанной функции к нему не предъявляется никаких иных требований. По этой причине единственными свойствами рассматриваемых объектов, не зависящими от особенностей образующего их вещества, являются их пространственно-временные закономерности (если бы в будущем и удалось обнаружить отличные от пространственно- временных универсальные характеристики телесных объектов некоторой науки, то для этого было бы недостаточно одного только чувственного созерцания и пришлось бы оказывать какое-то воздействие на них как на материальные тела; но тогда для проверки правильности найденных закономерностей существовал бы способ, опирающийся на это самое воздействие и отличающийся от чисто мысленной процедуры дедуктивного вывода). Так как своим существованием эти «чувственные образы» идеальных объектов дедуктивной науки обязаны только усилиям конструирующего ума, то преходящие свойства использованного при этом природного материала (бумаги или физических носителей магнитной «памяти» электронных дискет) являются тем, от чего необходимо полностью абстрагироваться. Поэтому при построении теории данные изменяющиеся природные предметы должны рассматриваться как «вечные», вследствие чего упомянутые выше их пространственно-временные характеристики не могут быть связаны со временем и должны быть их неизменными пространственными свойствами.
При отвлечении от формы пространственно расположенных тел единственной содержательной характеристикой остается их количество, однако, как указывалось ранее, арифметика ни в коем случае не смогла бы стать первой аксиоматической теорией. Если же в расчет принимается пространственная форма объектов теории, то тогда такой теорией и оказывается геометрия — наука, изучающая свойства плоских фигур и трехмерных тел. Круг замкнулся: никакой иной подходящей предметной области для возникновения дедуктивного способа рассуждений, кроме геометрии, «в природе» не существует. Только теоретическая геометрия, как исторически это и произошло в Древней Греции VI —IV вв. до н.э., могла дать толчок становлению аксиоматического метода.

Какой же раздел теоретической геометрии с необходимостью требует для своего представления аксиоматического изложения? До тех пор, пока объектом рассмотрения остаются чертежи, занимающие ограниченную часть плоскости, нет особой надобности в умении неограниченно продолжать прямые линии, а следовательно, вполне допустимо оставаться в рамках геометрии, в которой все построения могут быть произведены с помощью циркуля и линейки. Углы как неограниченные части плоскости с необходимостью появляются в процессе обоснования теоремы о сумме углов треугольника. Именно в процессе ее обоснования приходится формулировать сначала V и IV постулаты Евклида, а затем уже и первые три, поскольку требованиям IV и V постулатов могут удовлетворять только идеальные линии без ширины.
Для окончательного разрешения вопроса о причинах возникновения дедуктивного способа математических рассуждений в одной только Греции необходимо обратиться к конкретным сведениям исторического характера, что опять-таки органично лишь для нефундаменталистской философии математики.
Раздел геометрии, изучающий свойства углов, мог появиться в Древней Греции только в результате заимствования эллинами геометрических сведений у египтян. Практические геометрические знания, нужные египтянам для строительства полных пирамид, при переносе на греческую почву необходимо должны приобрести созерцательный (теоретический) характер, так как греки, как и вавилоняне, индийцы и китайцы, не строили полных пирамид. Дальнейшее преобразование теоретической геометрии в дедуктивную науку под воздействием диалектических споров[19] было уже фактически предопределено и не зависело от воли и сознания отдельных греческих математиков (хотя происходило и в соответствии с их субъективным волеизъявлением)[20].
<< | >>
Источник: В. В. Миронов. Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук : учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук. — М. : Гардарики,2006. — 639 с.. 2006

Еще по теме   1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте  :

  1. Культурно-исторические и экзистенциальные факторы генезиса философского мышления. Проблема начала философии
  2. ЗНАНИЕ ИСТОРИЧЕСКОГО И КУЛЬТУРНОГО КОНТЕКСТА
  3. Возникновение философии и ее культурно-исторические типы
  4. VI. Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой половины XIX века.
  5.   1. ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ
  6. БАСОВ ИГОРЬ ИВАНОВИЧ. Западноевропейское рыцарство XII-XV вв. в евразийском историко-культурном контексте: этика противоборства (опыт сравнительно-исторического исследования), 2005
  7. Философские проблемы математического образования и история математики Philosophical Problems of Mathematical Education and History of Mathematics
  8. Проблема легитимности власти в контексте культурной парадигмы общества The problem of legitimacy in the context of the cultural paradigm of society
  9.   1.6. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания 
  10.   4.14.4. Философские и методологические проблемы исторической науки  
  11. «Фалсафа» – светский вариант арабо-исламской философии. «Фалсафа» и религия. Разработка проблемы единства бытия как философской проблемы. Концепция творения мира вещей: необходимосущее и возможносущее бытие. Картина строения бытия, эволюции сущего.
  12.   2.6. Философские проблемы биологии и экологии[228] 2.6.1. Предмет философии биологии и его эволюция  
  13. 4. Философские проблемы различаются в соответствии с делением жизненных проблем на проблемы-образы, проблемы-действия и вербальные проблемы
  14.   § 47. Исторический очерк науки в свете философских идей Логическое и историческое
  15. 4.14. Философские проблемы специальных наук 4.14.1. Философские и методологические проблемы филологических дисциплин  
  16. Тема:История математики в ХІХ и начале ХХ вв. Математика и математики в Великой Отечественной войне.
  17.   1.4. Философские концепции математики