Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

  1.6. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания 

 
  Логическая автономность математики не означает автономности функциональной: математика развивается не для самой себя, а в ориентации на запросы научного знания. Особенности развития математического знания могут быть в полной мере поняты только с учетом этой внешней связи.
Развитие математики в Новое время, конечно, не было автономным, оно было продиктовано развитием техники, промышленности и теоретического естествознания. Развитие математического анализа, как известно, самым тесным образом связано с проблемами механики и теоретической физики в целом. Расширяющееся приложение математики к нематематическим наукам составляет суть процесса, который мы называем математизацией знания.
Общая схема математизации знания предельно проста и сводится в конечном итоге к интерпретации математической теории через понятия теории содержательной или, если идти со стороны содержания, к выявлению математических связей и отношений, отражающих определенные аспекты реальности, зафиксированные в содержательной теории. Классическим примером эффективной математизации является применение математики к проблемам механики. Это применение основано на структурном тождестве математических и содержательных законов. Мы замечаем, что если дана формула, выражающая зависимость пройденного пути от времени, то производная от этого выражения по времени будет соответствовать величине скорости движения, а вторая производная — величине ускорения. Это замечательное соответствие математических и физических понятий позволяет все понятия и связи механики записать в виде математических функций и установить между этими функциями четкие, чисто математические связи. Проблемы механики переводятся таким образом в чисто математическую плоскость, точно таким же образом, как проблемы геометрии были в свое время преобразованы Декартом в проблемы алгебры благодаря выявлению соответствия между геометрическими и алгебраическими понятиями. В процессе математизации, однако, математическая теория интерпретируется не в понятиях другой математической теории, а в понятиях теории содержательной.
Важно заметить, что процесс математизации зависит как от развития математики, так и от зрелости содержательной науки. Математизация механики не состоялась бы, если бы не была разработана в достаточной мере теория дифференциального исчисления, но, с другой стороны, она не состоялась бы без ясного определения таких понятий, как масса, ускорение, количество движения и т.д. Без этих понятий мы не сформулировали бы в ясной форме законов механики и не смогли бы выявить их собственно формальную или математическую структуру. Математика применяется к тем областям знания, которые достигли достаточно высокой степени структуризации своего объекта. Практика показывает, что далеко не все науки способны к ясной структуризации предмета, обеспечивающей использование математического метода.
Пример механики позволяет нам ввести важное понятие классической или полной математизации. Мы будем называть математизацию теории полной, если:
  • качественные характеристики объектов теории допускают адекватную меру;
  • все основные понятия и принципы теории поддаются выражению в математических понятиях;
  • математическая теория позволяет осуществить достаточно точные предсказания в области действия (приложения) этой теории.

Очевидно, что классическая механика уже в XVIII в.
достигла степени полной математизации. Не только исходные понятия теории, какими являются сила, масса и ускорение, определены через строгие формальные отношения к другим понятиям, но и все производные понятия выведены на основе исходных. То же самое относится и к единицам измерения. Исходные величины, а именно величины массы, длины и времени определены через общезначимые эталоны, производные же величины — через исходные на основе теоретических связей между ними. Полная математизация имеет место также и в других физических теориях, таких, как термодинамика, электродинамика, квантовая механика и теория поля. Принципы этих теорий имеют адекватное математическое представление, все их внутренние величины определены через исходные, и эти теории обладают высокой адекватностью отражения реальности в том смысле, что они способны давать точные предсказания и описания процессов, протекающих в природе и в различного рода технических устройствах.
Для математизации научной теории принципиально важным является допустимый в ней способ измерения величин. Мы должны различать адекватные и неадекватные меры. Меру величины можно назвать адекватной, если мы убеждены, что большей величине соответствует большая мера, равным величинам — равные меры и при увеличении величины в некоторое число раз ее мера увеличивается в то же самое число раз. Адекватная мера предполагает наличие способа измерения, прежде всего, единиц измерения, зафиксированных в виде устойчивых эталонов. Все физические величины обладают в этом смысле адекватной мерой, поскольку они выражаются в конечном итоге через меры длины, массы и времени, которые фиксируются с предельной определенностью.

Основной недостаток теорий за пределами физики заключается в отсутствии адекватных мер, и поэтому приходится прибегать, как правило, к условным мерам, которые мало пригодны для точного выражения функ-
циональных связей. У нас нет адекватной меры для определения величины грамотности общества, и мы вынуждены пользоваться для выражения ее такими условными характеристиками, как среднее число лет, которое затрачивается в данной стране на обучение ребенка, уровень финансирования системы образования и т.д. Конечно, мы имеем качественные признаки, позволяющие отличить развитую экономику от менее развитой, но не существует единого показателя, позволяющего дать точное количественное выражение качества экономической системы. Условность измерения ведет к условности устанавливаемых функциональных связей и к ограничению теоретического анализа в смысле точности предсказаний.
Существенное отличие современной математизации от классической состоит в том, что она не является полной. Она фрагментарна в том смысле, что математическому моделированию поддаются лишь некоторые частные процессы, исследуемые теорией, но не теория в целом. Мы строим здесь модель для некоторого процесса, не имея математического представления об основных понятиях и принципах теории. Примером такой частичной математизации является математическая модель сосуществования хищников и жертв в биоценозе, предложенная В. Вольтерра. Интуитивно ясно, что увеличение числа зайцев в лесу как потенциальных жертв ведет к увеличению числа волков как особей, потребляющих зайцев в пищу, и что слишком бурное размножение волков должно привести к уменьшению числа зайцев и, в конце концов, к сокращению числа волков. Намечается, таким образом, некоторое взаимодействие двух линий развития во времени. Эта ситуация может быть записана в следующих уравнениях:
dN rN-aCN;
dt dC
dt
— kaCJV— gC,
где N— число жертв, С— число хищников, а, г, к, g— коэффициенты, характеризующие взаимодействие хищников и жертв, устанавливаемые на основе опыта. Эти уравнения допускают уточнение и в принципе могут служить для предсказания тенденций увеличения или уменьшения основных видов в биоценозе. Известно, что математическое моделирование процессов в биоценозе дает неплохие результаты в прогнозах вылова различных пород рыб по сезонам в замкнутых водных бассейнах[43].
Этот пример показывает особенности неклассической (фрагментарной) математизации. Такая математизация не захватывает принципов на-
уки в делом, она относится исключительно к некоторым выделенным, изолированным фрагментам. Важно также то, что такого рода математизация не опирается на адекватные меры и не обеспечивает точного предсказания. Математизация знания за пределами физики является фрагментарной и неточной из-за отсутствия адекватно измеряемых величин. Имеются серьезные доводы в пользу того, что математизация за пределами физики не имеет шансов стать полной и адекватной математизацией в определенном выше смысле. Ни одна гуманитарная наука, конечно, не может достичь такой законченной аксиоматической структуры изложения, которую приобрела механика уже на ранней стадии своего развития. Опыт науки последних десятилетий показывает, однако, что несмотря на указанные недостатки фрагментарной математизации, она завоевывает все новые и новые области, демонстрируя таким образом свою полезность. Все говорит о том, что гуманитарные науки по мере своего развития будут требовать все более широкого использования математических методов.
В философском плане основная проблема математизации состоит в прояснении ее онтологической основы, ее обусловленности сложностью предмета науки. История науки ясно показывает, что математической обработке поддаются только те теории, в которых могут быть выявлены модели, пригодные для количественной обработки и для определения в точных понятиях. Математизация знания зависит, таким образом, в первую очередь от внутренних особенностей самого этого знания, от его способности к внутренней определенности, от наличия в нем достаточно определенных и вместе с тем достаточно содержательных схем. Научные теории сильно различаются по своей способности к строгому определению понятий и в разной степени способны к представлению своих законов в математических понятиях. Проблема состоит в уяснении условий, обусловливающих возможность математизации знания, в установлении требований, позволяющих понять возможную сферу эффективности математического метода. В настоящее время мы не имеем здесь сколько-нибудь ясных представлений, и можно сказать, что существующая теория математизации знания ограничивается покалишь анализом ее истории и сравнением типов задач и используемого математического аппарата.
Современная математизация знания отличается от классической и в том смысле, что она тесно связана с развитием вычислительной техники и в этом плане может быть квалифицирована так же, как его компьютеризация. Это обстоятельство объясняется прежде всего тем, что модельный и приближенный характер современной математизации требует совершенствования (подгонки) модели к условиям реальности. Такого рода совершенствование модели не может быть достигнуто средствами традиционного теоретического анализа, но во многих случаях легко достигается на основе вычислительного эксперимента. Можно сказать, что вычислительный эксперимент позволяет преодолеть самый существенный недостаток фрагментарной математизации — отсутствие адекватных мер и точности предсказания. Известно, что достаточно точные модели поведения объектов могут быть построены и в тех случаях, где еще не достигнуто адекватного теоретического описания и даже нет ясного понимания процесса. Продвижение математических методов в психологию и гуманитарные науки было бы невозможным, если бы мы должны были опираться здесь только на достигнутое теоретическое понимание процессов и на строгую дедукцию из принципов. Современная математизация обладает, таким образом, некоторой независимостью от теории, что является одним из ее преимуществ перед математизацией классической.
Для понимания математизации знания и общего механизма соотношения математики и опыта в процессе развития науки важно также пояснить такие относящиеся к ней явления, как математическое предвосхищение и математическая гипотеза. Явление математического предвосхищения состоит в применении к описанию реальности математических понятий и теорий, созданных первоначально исключительно из теоретических соображений, без прямой связи с опытом. Так, математическая теория групп, созданная Лежандром, Абелем и Галуа, нашла в прошлом столетии использование в квантовой механике и теории элементарных частиц, а неевклидовы геометрии — в теории относительности. Аналогичным образом обнаружилась тесная связь с опытом абстрактных топологических пространств и даже закономерностей распределения простых чисел, которые открывались, конечно, без всякой связи с запросами теоретического естествознания. А. Эйнштейн в статье о Кеплере высказывал восхищение загадочной гармонией природы и мысли, благодаря которой геометрические фигуры, придуманные древними, а именно эллипс и гипербола, нашли в Новое время реализацию в орбитах небесных тел[44]. Н. Бурбаки также усматривает проблему в том, что некоторые аспекты экспериментальной действительности «как будто в результате предопределенности» укладываются в некоторые из существующих математических форм[45]. Конечно, здесь не следует усматривать какой-либо мистики. Эти факты показывают, однако, наличие глубинных связей между развитием математики и опытных наук, которые не сводятся к простому взаимовлиянию структур и которые нам предстоит еще понять в процессе методологического анализа.
Явление математической гипотезы состоит в том, что чисто формальные, иногда даже непреднамеренные изменения математических уравнений, описывающих определенные стороны реальности, приводят к закономерностям, описывающим другие стороны реальности или сушест- венно расширяющим поле использования первоначальной теории[46]. Впечатляющим примером такой формальной вариации является уравнение Шрёдингера, полученное в результате модификации классического волнового уравнения. Этот путь привел в конечном итоге к прояснению принципов квантовой механики и широкого поля ее приложений. Особенностью этого пути является то, что математический аппарат теории появляется раньше его адекватной содержательной интерпретации. Некоторые исследователи методологии науки видят в этом новую форму взаимодействия между математикой и научной теорией, появившуюся в XX в., которая характеризуется тем, что математика начинает играть ведущую и решающую роль в становлении физической (содержательной) теории[47].
Математическая гипотеза родственна математическому предвосхищению, так как в том и другом случае речь идет об активной и опережающей роли математики в развитии содержательной теории. Но тут есть и существенное различие: говоря о математическом предвосхищении, мы фиксируем некоторого рода исторически реализующуюся тенденцию, способность математики готовить форму для новых физических теорий, в то время как в случае с математической гипотезой мы говорим о сознательном использовании этой особенности развития математики, т.е. о некотором методе, основанном на этом свойстве математической теории. Можно сказать, что математическая гипотеза является методологической реализацией, предвосхищающей способности математического мышления.
Современная математизация знания в методологическом плане представляет собой сложное, противоречивое и во многих отношениях еще не вполне понятое явление. Мы ясно видим, что, хотя усложнение объекта исследования создает почти непреодолимые затруднения для математического представления теории, спрос на математику со стороны науки, в том числе и наук за пределами физики, постоянно растет. Вопрос о перспективах математизации знания, таким образом, остается открытым. Для понимания этих перспектив необходимо иметь более определенные знания об условиях применения математики к таким объектам, как объекты биологии, психологии и социальной науки. Достаточно полной методологической теории, отвечающей на эти вопросы, мы пока не имеем.
Вопросы для самопроверки
1. Что общего и в чем состоит существенное различие в подходе к методологическим проблемам математики в рамках фундаменталистского и нефундаменталистского направлений в современной философии математики?
  1. В чем состоит особая роль геометрии как теоретической науки в становлении дедуктивной формы изложения математического знания?
  2. Каким образом закономерности развития математики связаны с различием теоретической и практической математики?
  3. Укажите основные расхождения между эмпирическим и априористским истолкованием математических понятий.
  4. Что значит обосновать математическую теорию с логицистской, интуиционистской и формалистской точки зрения?
  5. В чем состоят особенности современной математизации знания?

Темы рефератов
    1. Место математики в культуре.
    2. Абстракции и идеальные объекты в математике.
    3. Взгляды математиков на методологические проблемы науки (Г. Кантор, Д. Гильтерт, А. Пуанкаре, Г. Вейль, Н.Н. Лузин, А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, С.П. Новиков).
    4. Математика и физика в их историческом взаимодействии.
    5. Логика и интуиция в математике.
    6. Проблема бесконечности в математике.
    7. Особенности развития математики.
    8. Эмпиризм в философии математики.
    9. Априористская концепция математики.
    10. Аксиоматический метод в математике.
    11. Математическое предвосхищение и математическая гипотеза.
    12. Проблема обоснования математики.
    13. Методологические особенности современной математизации знания.
    14. Философские проблемы теории вероятностей.
    15. Роль компьютеров в развитии современной математики.
    16. Социокультурные концепции развития математики (работы К. Поппера, И. Лакатоса, Ф. Китчера, А.Г. Барабашева).
    17. Развитие математики и проблемы математического образования (работы В.И. Арнольда, A.M. Абрамова, по колмогоровской реформе и др.).

Литература
Абрамов A.M. О педагогическом наследии А.Н. Колмогорова // УМН. 1988. Вып. 6. Т. 43. С. 39-74.
Арнольд В.И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. 2002. Т. 72. № 3.
Барабашев А. Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М., 1991.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
Бычков С.Н. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математи- ческие исследования. Вторая серия. М., 2001. Вып. 6 (41).
Бычков С.Я. Математика в историческом измерении // Вопросы истории естествознания и техники. 2003. № 3.
Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 2000.
Григорян А.А. Закономерности и парадоксы развития теории вероятностей. Философско-методологический анализ. М., 2004.
Закономерности развития современной математики. М., 1987.
Казарян В.П., Лолаев Т.П. Математика и культура. М., 2004.
Кацивели Г. (Шилов Г.Е.). Математика и действительность //Историко-мате- матические исследования. Вып. 20 (1975).
Клайн М. Математика. Поиск истины. М., 1988.
Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.
Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского. М., 1991.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказывают теоремы. М., 1967.
Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969.
Новиков С. П. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2002. Вып. 7 (42).
Образование, которое мы можем потерять: Сборник / Под общ. ред. В. А. Садов- ничего. М., 2002.
[Терминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001.
Степин B.C. Теоретическое знание. М., 2003.
Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Ба- рабашева. СПб., 1999.
Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск, 2002. Ч. I.
Яновская С.А. Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования. М., 1958. Вып. 11.
KitcherPh. The Nature of Mathematical Knowledge. N.Y., 1983.
Wilder R. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.

 
<< | >>
Источник: В. В. Миронов. Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук : учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук. — М. : Гардарики,2006. — 639 с.. 2006

Еще по теме   1.6. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания :

  1. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  2. § 2. Исследование и применение методологических подходов к проблеме инновационного проектирования в региональной молодежной политике
  3.   1.6. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания 
  4.   2.2.3. Проблема объективности знания в астрономии и космологии  
  5.   4.14.2. Философско-методологические проблемы психологической науки  
  6.   4.14.7. Философско-методологические проблемы политической науки  
  7.   4.14.8. Философско-методологические проблемы экономической науки  
  8. Концептуальные подходы в методологии сравнительно-правовых исследований
  9. Возникновение суфизма – мистико-аскетического направления в исламе, его социальная база. Представители философского суфизма, его историческая роль. Мистическая философия как реакция на засилие софистики и псевдорационалистической демагогии богословия, на безграничную веру в разум философов-перипатетиков. Ориентация на личностную структуру человека. Онтология суфизма, учение о макро– и микрокосмосе. Гносеология суфизма: значимость житейского опыта, обостренное эстетическое восприятие предметов, у
  10. 9.2 Знание и мнение. Проблема обоснованности знаний
  11. Раздел 2. Выделение сферы повседневности как методологическая и теоретическая проблема
  12. Глава 2. Выделение сферы повседневности как методологическая и теоретическая проблема
  13. Круглый стол РИСКИ И ГЛОБАЛИЗАЦИЯ: РОССИЙСКИЙ ПРОЕКТ
  14. Человек и общество в русской философской мысли: к постановке проблемы.
  15. К проблеме математизации научного знания About matematizacii of scientific knowledge
  16. Целостный подход как новая философско-методологическая парадигма The Holistic approach as a new philosophical and methodological paradigm