Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

  1.1. Природа математического мышления 

 
Для понимания математики как науки важно уяснить особенности ее предмета и метода, закономерности ее развития, пути обоснования математических теорий и условия их применения к опытным наукам.
Попытки ответить на эти вопросы составляют суть философского анализа математики. Задача данного раздела состоит в том, чтобы разъяснить основные идеи и проблемы современной философии математики и показать их связь с развитием математического мышления.
На протяжении столетий математика считалась образцом точности и строгости для других областей знания. Этот взгляд сохраняет свое влияние и сегодня: немало специалистов полагают, что законы химии и физики не обладают некоей, только этим наукам присущей, спецификой и что за их количественным выражением стоят универсальные свойства абстрактных математических структур, не до конца еще раскрытых современной наукой. Математика с подобной точки зрения обретает значение, далеко выходящее за рамки своего непосредственного поля применения, получая тем самым философское измерение.
Самое раннее свидетельство, касающееся обстоятельств возникновения подобного взгляда, содержится в диалоге Платона «Филеб». Объясняя собеседнику Протарху важность изучения музыкальных созвучий и образуемых ими систем, Сократ говорит: «...Предшественники наши, открывшие эти системы, завещали нам, своим потомкам, называть их гармониями и прилагать имена ритма и меры к другим подобным состояниям, присущим движениям тела, если измерять их числами; они повелели нам, далее, рассматривать таким же образом всякое вообще единство и множество... после того как ты узнаешь все это, ты станешь мудрым, а когда постигнешь всякое другое единство, рассматривая его таким же способом, то сделаешься сведущим и отно- сительно него»[1]. В этих словах содержится обоснование знаменитого пифагорейского тезиса «Все есть число», во многом предопределившего последующие успехи теоретического естествознания. В современных работах воззрения пифагорейцев нередко называются мистическими, однако доля мистики в них не так уж и велика. Выдающийся физик-теоретик Р. Фейнман, анализируя господствующее на сегодня объяснение Г. Гельмгольцем феномена благозвучия музыкальных интервалов, описываемых первыми числами натурального ряда, вынужден признать, что в данном вопросе мы не далеко ушли от Пифагора: «Мы не можем с уверенностью сказать, сравнивает ли ухо гармонии или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравится»[2]. Если даже сегодня отсутствует удовлетворяющее всех объяснение простых числовых закономерностей в эстетическом восприятии музыки, то едва ли можно упрекать древних за тот энтузиазм, которым сопровождалось их обнаружение в невидимых глазом явлениях.
Воздействие математики не ограничивается сферой научного знания. Многообразны способы ее применения помимо музыки в таких областях искусства, как архитектура, живопись и литература[3]. Рассматривая средневековую математику, невозможно игнорировать глубокую ее связь с религиозным сознанием того времени. Нельзя, наконец, забывать и о важнейшей роли математики в образовании и воспитании личности.
Последние годы наполнены спорами об изменившейся роли математического знания в эпоху постиндустриального развития человечества.
Вторжение электронно-вычислительной техники и информационных технологий в экономику и повседневную жизнь людей привело к неоднозначным, противоречивым последствиям для системы математического образования. На состоявшейся в 2000 г. Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» ее участники вынуждены были с тревогой констатировать, что в современном общественном сознании складывается искаженное и даже негативное представление о математике и математическом образовании[4]. Об остроте проблемы говорит то обстоятельство, что в доклад председателя Программного комитета конференции В.М. Тихомирова специально был включен тезис: «Математическое образование есть благо, на которое имеет право любой человек, и обязанность общества (государства и всемирных структур) предоставить каждой личности возможность воспользо- ваться этим правом». О причинах, поставивших под сомнение этот тезис в глазах общества, много пишет в своих публикациях один из крупнейших математиков современности В.И. Арнольд.
По его мнению, в снижении общественного интереса к математике и математическому образованию есть доля вины и самих математиков. Когда студенту французского университета преподносят следующее определение математики как научной дисциплины: «Математика есть наука о доказательствах, доказательства — это цепочки импликаций... Самое главное — понять, что такое одна импликация. Вот ее определение. Пусть А и В — два произвольных высказывания. Если оба они верны, то говорят, что из А вытекает В», едва ли он впоследствии сможет что-либо понять в теоретическом естествознании. Не больше пользы, по мнению Арнольда, для защиты ценности математического образования и от принадлежащего другому крупнейшему математику современности Ж.-П. Серру обоснования причисления нуля к натуральным числам в учебных математических курсах: «Некоторые считают, что натуральные числа — это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: один, два, три... Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, "естественный счет" никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: "Натуральные числа — это мощности конечных множеств". А какое из конечных множеств — самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, — натуральное число!»[5]
Сам Арнольд, дабы избежать упреков со стороны нематематиков в том, что математика искусственно отгораживается от других наук, имеющих дело с реальным, окружающим нас миром, предлагает рассматривать ее как часть теоретической физики: «...доказательства всегда играли в математике совершенно подчиненную роль, примерно такую, как орфография или даже каллиграфия в поэзии. Математика, как и физика, — экспериментальная наука, и сознательное сложение дробей V2 и V3 — стандартный элемент общечеловеческой культуры»2.
Общество судит о степени важности той или иной области знания прежде всего по тому вкладу, который она реально вносит в его функционирование. И если, как в приводимых Арнольдом примерах, оно видит стремление специалистов данной области знания сосредоточиться прежде всего на внутренней проблематике, вне связи с другими сферами знания и жизнедеятельности общества, отчуждение оказывается взаимным. С этой точки зрения проводимое выдающимся математиком сближение математики и физики выглядит привлекательным и заслуживает серьезного внимания.
Предлагаемый Арнольдом подход, как и всякая новая точка зрения, не свободен от трудностей теоретического характера. Если следовать ему буквально, т.е. заменять принятую в математике схему «определение — теорема — доказательство» на привычную для физики схему «наблюдение — модель — исследование модели — выводы — проверка наблюдениями», то трудности возникнут даже при изложении элементарной математики. Например, хотя формула объема пирамиды и может быть сформулирована в рамках наглядных физических представлений, ее доказательство предполагает возможность деления отрезка на сколь угодно большое число равных частей, что невозможно строго обосновать без геометрических аксиом. Математические абстракции имеют свою исторически сложившуюся специфику, и прямой разрыв с этой традицией в преподавании математики неизбежно порождает массу методических и методологических проблем, преодолеть которые за короткое время едва ли возможно.
В философии науки принято различать три аспекта используемого в познавательной деятельности ученого языка науки: синтаксический, семантический и прагматический[6]. Синтаксический аспект предполагает рассмотрение языка как некоторой совокупности знаков, которые преобразуются по определенным правилам и формируют в своих связях определенную систему. В процессе применения этих правил исследователь отвлекается от смысла терминов языка и рассматривает термины только как знаки, образующие в своих связях формулы, из которых выводятся другие формулы по правилам данной языковой системы. Именно этот аспект математического знания оказался на первом плане в приведенном выше определении математики как цепочки импликаций.
Семантический аспект языка требует обращения к содержанию языковых значений. Он предполагает нахождение идеальных объектов и их связей, которые образуют непосредственный смысл терминов и высказываний языка. Так, в аксиоматически построенной геометрии под пирамидой понимается не мысленный образ расположенной в пространстве пирамиды, а идеальный математический объект, вершины которого не имеют частей, ребра — ширины, а грани — толщины.
Наконец, прагматический аспект языка предполагает рассмотрение языковых выражений в отношении к практической деятельности и специфике социального общения, характерных для определенной исторической эпохи. Это означает, что идеальные объекты и их корреляции, образующие область смыслов языковых выражений, берутся в их отношении к социокультурной среде, породившей ту или иную «популяцию» научных знаний. Когда Арнольд критикует господствующую в дедуктивно-аксиоматичес- кой математике схему «определение — теорема — доказательство» как способную принести лишь вред и преподаванию, и практической деятельности[7], он ставит во главу угла именно прагматический аспект в истолковании предмета математики. Сам факт подобной критики указывает на то, что рассматриваемые аспекты математического знания могут входить в противоречие на определенных стадиях исторического развития.
Критическую оценку аксиоматической формы изложения математики разделяет другой крупнейший российский математик — С.П. Новиков[8]. Но даже эти авторитетные мнения ведущих современных ученых не в состоянии поколебать многовековой традиции, в соответствии с которой именно дедуктивное доказательство рассматривается как специфическая особенность математики, выделяющая ее среди других областей знания.
Яркую и образную характеристику специфики математического метода рассуждений дала С.А. Яновская: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не вытекающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кеглей руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, т.е. строго соблюдая все правила игры»[9].
Главная особенность приведенной характеристики способа математических рассуждений состоит в том, что в соответствии с ней математик должен «добровольно» ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследствии дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью. Именно это отличает аксиоматический метод математики от принятого в физике и других науках гипотетико- дедуктивного способа рассуждений, обязательно завершающегося проверкой теоретических выводов экспериментом.
Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу XIX в. Этот стандарт основан на теоретико- множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанными между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом.
В становлении аксиоматического метода В.Н. Молодший выделяет три основных периода: 1) период содержательной аксиоматизации; 2) период полуформальной аксиоматизации; 3) период формальной аксиоматизации[10]. Принципы содержательной аксиоматики господствовали до середины XIX в. Полуформальный аксиоматический метод получил распространение в последней четверти XIX в. Датой рождения формализованного аксиоматического метода принято считать 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.
В содержательной аксиоматике аксиомы описывают основные свойства, отношения и связи объектов из одной области объектов. Последние получают непосредственное определение до того, как задан список аксиом рассматриваемой теории, а используемые при доказательствах средства логики не получают какого-либо описания или уточнения (предполагается использование традиционной формальной логики).
Наиболее совершенное для своего времени содержательно-аксиоматическое построение геометрии как основы и методологии всей математики разработал Евклид в «Началах».
Фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты Евклида представляют собой требования возможности осуществления построений с идеальными геометрическими объектами. Вот их формулировка:
«Допустим:
  1. Что от всякой точки до всякой точки lt;можноgt; провести прямую линию.
  2. И что ограниченную прямую lt; можно непрерывно продолжить по прямой.
  3. И что из всякого центра и всяким раствором lt; может бытьgt; описан круг.
  4. И что все прямые углы равны между собой.
  5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Аксиомы (дословно — «общие мысли») содержат описания свойств

любых величин и формулируются следующим образом:
«1. Равные одному и тому же равны и между собой.
    1. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
    2. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
    3. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
    4. И удвоенные одного и того же равны между собой.
    5. И половины одного и того же равны между собой.
    6. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
    7. И целое больше части.
    8. И две прямые не содержат пространства».

Вместе с формальной логикой аксиомы представляют логический компонент теории доказательства «Начал».
В полуформальной аксиоматизации математической теории ее объекты не получают непосредственных определений. Их заменяют аксиомы, описывающие отношения и связи между основными объектами. Как и в случае содержательной аксиоматизации, при доказательствах теорем используются средства традиционной логики.
При полуформальной аксиоматизации математической теории ее аксиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой, описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интерпретацией аксиоматизированной теории.
Содержательный характер геометрической аксиоматики был поставлен под сомнение в первой половине XIX в. в связи с построением Лобачевским, Бойяи и Гауссом неевклидовых геометрий. Аксиомы оказались не абсолютными истинами, отрицание которых недопустимо, а гипотезами, истинность которых надо проверять опытным путем либо путем сведения к ранее установленным математическим истинам.
Трактовка цели и средств аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине XIX в., когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации. В этой связи была осознана целесообразность такого аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выступала бы как общая теория, заключения которой верны для объектов любых ее интерпретаций.
Зарождение аксиоматического метода как самостоятельной теории датируется 1899 г. — временем выхода классических «Оснований геометрии» Д. Гильберта, где этот метод на примере геометрии получил, по существу, исчерпывающую разработку.
Формальные аксиоматики разработаны для теорий, относящихся преимущественно к фундаменту теоретической математики. Они естественным образом получаются из полуформальных аксиоматик при помощи формализации традиционной логики, содержательным образом используемой в первых двух видах аксиоматик.
Теоретико-множественная концепция не только предоставила основной в настоящее время стандарт математической строгости, но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их систематизировать[11]. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы (например, в случае алгебраического поля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая). Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «непрерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов. Аксиоматическое изложение какой-либо специальной математической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются ранее построенными теориями (например, понятиями натурального или действительного числа).
Теоретико-множественная переработка всех отделов математики при помощи идеи полуформальной аксиоматики позволила устранить неясности и разногласия относительно корректности определений и убедительности доказательств отдельных теорем. Обнаружившиеся в начале XX в. в самой теории множеств неясности и противоречия оказались связанными главным образом с теми ее областями, где понятию бесконечного множества была придана общность, излишняя для каких-то приложений и потому не могущая нанести существенного вреда основным разделам «работающей» математики. Однако следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математических теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а последняя сама нуждается в логическом обосновании.
В начале XX в. в теории бесконечных множеств был обнаружен ряд парадоксов, поставивших под сомнение возможность ее непротиворечивого обоснования. Самый известный из них — парадокс Рассела — формулируется следующим образом. Пусть М — совокупность всех нормальных множеств, т.е. множеств, не включающих себя в качестве собственного элемента. Допустим, что М — само нормальное множество, тогда оно не содержит самого себя в качестве элемента и тем самым не может быть нормальным. Если, напротив, предположить, что М — ненормальное множество, то тогда оно должно входить в М, т.е. быть нормальным множеством.
С прагматической точки зрения этот парадокс, как отмечено выше, не представляет особой опасности. С философской же точки зрения он весьма неприятен. Распространенные в математике доказательства от противного неявно опираются на предположение о непротиворечивости математики. После того как теория множеств в конце XIX в. стала фундаментом всего математического знания, обнаружение противоречий в самых простых с логической точки зрения теоретико-множественных рассуждениях воспринимается довольно болезненно. Устранение парадоксов из математики составило важную задачу общенаучного характера. Попытки ее разрешения и ознаменовали рождение новой научной дисциплины — философии математики.
В настоящее время в философии математики имеются два основных направления — фундаменталистское и нефундаменталистское[12]. Фундаменталистская философия математики подчиняет исследование математики одной целевой установке — выяснению проблемы сущности математики, не зависящей от ее конкретных исторических состояний. Именно эта цель преследуется при различных попытках редукции одних теоретических разделов математики к другим разделам и нахождения фундаментальных математических структур. Именно таким образом исследуется природа математических объектов и их соотнесенность с миром природных объектов и объектов теоретического естествознания. Именно так осуществляется поиск единой сущности и непреходящих стандартов математического доказательства — стандартов, с которыми сравниваются реальные доказательства различных эпох.
Работы нефундаменталистского направления претендуют на постановку и решение проблем выявления концепций развития математики, поиска схем этого развития. Если для фундаменталистского направления в философии математики основными являются проблемы ее сущности, а не функционирования (исследование математики в «статике», а не в «динамике»), то нефундаменталистское направление считает возможным разобраться в законах реального функционирования древнейшей из наук без окончательного решения проблем установления ее сущности.
Пионерской работой нефундаменталистской ориентации стала серия статей И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», в которой он предпринял попытку вскрыть общую схему развития математики на примере истории доказательства важного результата топологии — теоремы Эйлера о многогранниках.
Важной вехой в развитии нефундаменталистского направления является работа Р. Уайлдера «Математика как культурная система»[13], в которой математика рассматривается как подразделение культуры в целом. Указанное представление опирается на понятие «культурного элемен- та», под которым автор понимает набор убеждений, инструментов, ритуалов (в широком смысле слова) и т.п., принадлежащих некоторым образом объединенной группе людей. На этой основе он строит типологию исторического взаимодействия различных частей математики, которая существенно отличается от привычного ее разделения на специальные теоретические дисциплины.
Значительным явлением в развитии нефундаменталистского направления стала также книга Ф. Китчера «Природа математического знания»[14], в которой делается попытка построения целостной и развернутой эмпирической концепции сущности и развития математического знания как представленного в деятельности коллективного субъекта — научного сообщества математиков.
В настоящее время можно выделить три различные ветви нефундаменталистского направления:
•историческая ветвь, полагающая развитие науки некумулятивным. Она восходит к концепции научных революций Т. Куна и применяет данную концепцию к математике. Идея исторического отбрасывания устаревших математических теорий развивается в большом числе публикаций и, в частности, в известной книге «Революции в математике»[15];
•ветвь социальной детерминации, утверждающая зависимость содержания науки от социальных взаимоотношений, от региональных и национальных особенностей. В философии математики так появились взгляды об «арийской математике» (Л. Бибербах), о «китайской математике», о «буржуазной математике» в ее противопоставлении «пролетарской математике», о «европейской математике» и т.д. Наиболее основательно это течение развивается С. Рестиво и его последователями[16];
• ветвь культурной детерминации, распадающаяся на течение когнитивно-культурной детерминации, когда формальные структуры, трансформирующиеся в исходные математические структуры конкретной исторической эпохи, считаются обусловленными формирующимися в данной культуре познавательными установками4, и течение дея- тельностно-культурной детерминации, согласно которому сущность культуры составляют социальные эстафеты действия, обеспечивающие облик математики, приемлемые способы действия с математическими объектами и само понимание таких объектов как ролей соотношения обозначений, воспроизводящих себя в соответствии с принципами нормативных систем[17].
Отличительные черты нефундаменталистского (социокультурного) направления в философии математики в его отношении к фундаментализму сводятся в основном к следующим:
•главной является группа проблем функционирования математики (математики в ее динамике). Если при изучении сущности математики фундаментализмом вопросы ее функционирования оказываются оттесненными на задний план, то в данном случае на задний план отодвигается выявление неизменной сущности математики, независимой от ее развития;
  • нефундаменталистская философия математики смотрит на математику с более широких позиций, и поэтому она способна лучше адаптироваться к тем бурным изменениям, которые претерпевает сегодня математика, ее отношения с другими науками, а также ее место и значение в культуре;
  • нефундаменталистская философия математики ближе к современным исследованиям в математике и истории математики, что способствует ее плодотворному применению в обеих этих сферах.

Занимаясь мировоззренческими проблемами математики, философия математики, естественно, представляет собой специальный раздел философского знания. Внутренняя проблематика философии математики (причем первоначально именно в ее фундаменталистском варианте) была порождена философией, которая, исследуя вопросы сущности и существования абстрактных и идеальных объектов, достоверность логических умозаключений, не могла не отметить такой важный частный случай, как математические объекты (пифагорейская школа, Платон), и столь важный и эффективно разрабатываемый поколениями исследователей способ рассуждений, как математическое доказательство (доказательство от противного, часто связываемое с философией элеатов; доказательство по индукции и т.д.). Но специализация, неизбежно прогрессирующая во всех областях знания по мере их развития, не обошла стороной и философию. Из частного раздела философского знания философия математики постепенно превратилась в достаточно автономную область исследований; исконно философские вопросы (о природе субъективного и объективного и их взаимосвязи) применительно к математическим сущностям стали внутренними вопросами философии математики, поддерживающими ее автономное существование, требующими специализации и возбуждающими устойчивый интерес ученых.

Главными прикладными проблемами для философии математики стали вопросы, возникающие в математике и истории математики, причем историко-математические проблемы важны прежде всего для не- фундаменталистского направления. Спустя сто лет после открытия парадоксов теории множеств они по-прежнему остаются вызовом для всех работающих в области философии математики исследователей. Но не меньшую актуальность для философии математики сегодня приобрели и важнейшие открытые проблемы истории науки.
Вот их неполный перечень:
  • В какой мере допустима модернизация исторического источника (например, можно ли применять современную математическую символику и достижения современной математики при изучении и изложении «Начал» Евклида, «Арифметики» Диофанта, исследований Ньютона, Лейбница и т.п.)?
  • Каковы принципы влияния культурной среды на развитие математики, насколько направление развития математики зависит от ее внутренних интенций и насколько — от внешних влияний (соотношение внутренних и внешних факторов развития математики)?
  • Каким образом развивалась математика как социальный институт?
  • Не оказывается ли нахождение исторической закономерности в действительности «опрокидыванием» в прошлое определенного видения современной математики?
  • Какие направления в математике были основными в те или иные исторические периоды? Существуют ли революции в математике?

Все эти вопросы объединяет связь с проблемой поиска исторических закономерностей развития математики. Стремление ответить на них в процессе поиска и обоснования исторических закономерностей развития математики выступает как основа взаимопонимания современной истории науки и нефундаменталистской философии математики.
Аналогичным образом можно описать прикладную функцию нефундаменталистской философии математики по отношению к запросам со стороны математики. Проблема выявления закономерностей и тенденций развития современной математики распадается здесь на ряд «подпроб- лем», которые представляют интерес для любого серьезного специалиста:
  • Какие разделы математики, новые идеи и методы наиболее перспективны, как они взаимодействуют между собой?
  • Каковы тенденции развития математического доказательства (можно ли, например, использовать ЭВМ при доказательстве математических теорем и каким образом)?
  • Как строить обучение математике?
  • Каковы симптомы возможности получения прикладного эффекта от исследований в конкретной области теоретической математики?
  • Как в будущем будут соотноситься «прикладные» и «теоретические» исследования и в каком смысле можно говорить об их единстве?

Попытки ответить на эти и подобные вопросы постоянно предпринимаются самими «работающими» математиками. Нетрудно видеть, что ука- занные вопросы являются производными от одного, главного: каковы тенденции развития математики, каково ее будущее? Таким образом, нефундаменталистская философия математики под давлением со стороны математики вынуждена искать способы ответа на этот вопрос. Предвидение будущего математики является одной из важных и актуальных проблем нефундаменталистской философии математики, в русле которой ведется анализ развития математики, выявления закономерностей этого развития.
<< | >>
Источник: В. В. Миронов. Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук : учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук. — М. : Гардарики,2006. — 639 с.. 2006

Еще по теме   1.1. Природа математического мышления :

  1. ФАУСТОВСКОЕ И АПОЛЛОНОВСКОЕ ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ
  2. § 1. Трансформация системы числительных под влиянием математического мышления
  3. 6. Психологические основы формирования профессионального системного мышления
  4.   1.1. Природа математического мышления 
  5.   1.4. Философские концепции математики  
  6.   1.5. Философия и проблема обоснования математики  
  7. § 4. Творческая природа сознания. Мышление и кибернетика
  8. § I. Трансформация системы числительных под влиянием математического мышления
  9. Глава 10 Время — мера мира
  10. § 1. Трансформация системы числительных под влиянием математического мышления
  11. 2. Основные современные модели философского мышления
  12. НАЧАЛО ФОРМИРОВАНИЯ ФИЛОСОФСКОГО МЫШЛЕНИЯ НОВОГО ВРЕМЕНИ
  13. ПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ.
  14. §4. Необходимость для объяснения математического мышления введения в рассмотрение бессознательного мыслительного процесса.
  15. §10. Быстрота математического мышления.
  16. §15. Роль пассивного воображения в математическом мышлении.