Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем.

Математическое образование, 1929, № 1, с. 19-34.

Отметим основную проблему определения права, различно решаемую Кантом, Иерингом и др. См.: Шершеневнч. Определение понятия права.

Не будем упоминать о классиках схоластики и работах по средневековой философии. Отметим любопытную книгу по популярной схоластике, где можно найти все основные схоластические вопросы: Knithel. Arisloteles curiosus. Praga.1682. Fylkowski. Philosopliia curiosa. 1680.

О значении схоластики в истории математики я говорю в работах: "Фи- лософско-математические идеи XVI века.", "Генезис современного числа.", "Аксиоматика XVII в.", "Генезис и история теории пределов.'" См.: нас. изд.

J Рамус 1515-1572. Waddinglon. Ramus, sa vie, ses ecrils et ses opinions. Paris, 1855. G. Wierkert. Eiicyclopadie des Petms Ramus. Leipzig, 1848. Ziehen, §. 23. Моя работа: "Фклософско-математическпе идеи XVI века."

5 Renati Descartis. Principia philosophiae. Amstelodami, 1677, и другие работы. Куио Фишер. Т. 1. О логике Декарта. Ziehen. Lehbrucli der Logik. Berlin. Т. 1. Cap. 2, §. 23. Там лее о Bouse, §. 32.

" Haureau. De la philosophic scolastique. Paris. 1850. Работы Werner, Rousselot

Aristoteles. Opera omnia graece et latine.

Об определениях Аристотеля: Analyt, pr. 1] , с, 3. Об аристотелевском методе: Eiken. Die Methode der aristotelischen Forschung. Berlin. 1872. Gollini. Aristotele e il metodo scientifico. Pisa, 1873. См. также: Franz Biese, Aristoteles Philosophic. Berlin. 1835-1842. Cousin. DelaMethapliysiqued'Arislotel. Paris, 1838. О логике Аристотеля: см. Ziehen. Lehbruch derLogik. Berlin, 1920. Teil 1, §. 9. О схоластическом методе: Carl Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande. Leipzig, Bd. 1,1855. Bd. 2, 1863, Bd. 3, 1867. Bd. 4,1870. Ziehen. 1 Teil.

О различных смыслах субстанции.

Met. Ю59в34 - 1060а!. Прим. ред.

Интересно отметить, что древние при решении проблемы ие ставили вопроса о единственности решения, а находят какое-либо решение, вполне удовлетворяясь им. См.: напр.,"' Арифметику Диофанта". Впервые проблема о единственности решения ставится схоластикой в чисто теологической сфере. См.: S. Ansehni. Prologium... Monoiogium... Migne. Patrologia. Т. 158. Ансельм. 1033-1109.

О подобии - Аристотель. Met. V. 9.

О платоновских идеях см. его диалоги: Федон, Теэтет, Софист, Кратил. Филеб, Меной, Федр и т.д. Аристотель против идей Платона. Aualyt. Post, lib. 1, 2, 19. Met., lib. VII, с. 14, 15; X, с. LO; XI, 4, 5, И, 12; XIII, 2; XIV, 3.

О субстанциях. Met. V. 8. Взгляды Аристотеля на определение см. Anal. Post. Lib. I. 13,

Характеристика античной мысли: Шпенглер. Закат Европы.

Petri Rami. Geometriae. Libri XXVII. Basileae.1560. Scholaruin. Mathematicarum Libri imus el triginla Basileae, 1569. Fracfurti. 1569

О Рамусе см. мою работу: "Философско-математическне идеи XVI века."

Гильберт. Основания геометрии. Русск. пер. Спб. 1923.

Об определениях: Bonne], Essai sur les definitions geornetriques. 1870. Liard. Des definitions geornetriques e des definitions empiriques. Paris. Alcan. 1888. Историю и вместе с тем методическое значение определений молено найти в прекрасной книге: Scliotten. Inhali und Methode des Planimetrischen Unterrichls. 1870.

Определение знания у Аристотеля. Anal. Post. I, 9. II, 12, 13,

Met. 1005b20. Сравните критику Канта в "Критике чистого разума". Уч. эл. I отд., 2 гл., 1 сек. Прим. ред.

Возражения антиматематиков собраны в книге: Hugonis Simplicii Crasgbartaci Scoti. Е. Soc. Iesu. deMathematicis disciplinis libri duodecim. Antv. 1635.

Simplicius - латинизированное Hugo Simple, 1594-1654. См.: Cantor. Geschichte d. Mathematik.

См.: Спиноза. Этика.

" Walisi. Mathesis universalis, cap. III. De demonstrationists mathematicis.

Впервые различие доказательств: -ш оті, -ш біоті (quia et quare) у Ал- фараби (ум.

L'arl: de penser. р. З 92 (это так называемая Пор-роялевская логика Арно иНиколя) Pierre Nicole, 1625-1695, Anloine Arnauld, 1612-1694. [В русском переводе: А. Арно и П.Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991] Требования пор-роялевской логики Арио старается осу-ществить в своем "Nouveaux elements de Geometrie". Paris, 1683.

A

E

D Прим. ред.

F E

25 Прим. ред. 1 Евклид доказывает теорему Пифагора (для треугольника ABC), доказывая равенство треугольников DАС и ВАГ, откуда следует равновели- кость квадрата на катете АВ и прямоугольника AGFE, являющегося частью квадрата на гипотенузе АС. Аналогично доказывается, что оставшаяся часть квадрата на гипотенузе равна квадрату на другом катете.

Legendre. Elements de Geometrie.

Ct! b'

а _ а' + 1У b _ а' + Ь' а' ~ а ' Ь' а2 = а'2 + a'b'; Ь2 = Ь'2 + а'Ь' а2+ b2 = а'2 + b'2 + 2a'b' = (а' + Ь')2= с2 Прим. ред.

23 О софистах: "Диалоги" Платона: Софист, Протагор. Xenophonti. Memorabilia. Soc. XVI-II, 2. Sextus Empiricus. Adversus Logicos. Lb. VII. А. Гиляров. Греческие софисты. Москва, 1888. И. Ягодинский. Софист, Протагор. Казань, 1916. См. мою работу: "Об апагогических доказательствах".

Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Петрушевского. Спб. 1819. "Начала" Евклида. Пер. Ващенко-Захарченко. [См. также пер.: Мордухай-Болтовского. М. 1950. J

Elem. Euclidis ed. Heiberg. IX, 12. Sacceri. Euclides ab omni naevo vindicatus. Milan. 1739. Vailati. Sur une classe remarquable de raisonnements par reduction a 1'absurde. Revue de Metaphysique. 1901, p. 799.

Arislotelis. Analytica Post. Lib. I, cap. 26. Интересно отметить, что Спиноза не может обойтись без апагогических доказательств.

В особенности интересно выпрямление Озанамом XI теоремы книги III "Начал: "Если круг ABC касается круга AIKM внутри этого последнего, то прямая, соединяющая их центры, проходит через точку их касания". Ozanam. Cours de Mathematiques. Paris, 1720. Sect. XI.

Kepler. Nova stereometria doliorum, 1615. Opera omnia. IV, pp. 537538. Эмбрион еще до Кеплера у Stiffel. Arithmetica integra Nova. 1544. Appendex libri secundi. О методе неделимых, Brunschwigg. Les etapes. Lib. Ill, ch. IX, p. 160. Ziehen. Geschichte der Math, in XVI und XVII Jahrh. Leipzig. 1903, S. .121. Bon Cavalieri. Geometria indivis. cont. novaquidein ratione promota, Bonouiae. 1635, 1653. Exercitationes. Bon. 1643. Метод неделимых проходит через три ступени: Roberval, Gregorius. Vencentio и Taquet. Cantor II, 392. Против апагогических доказательств - Рамус (1515-1572).

3J P. Rami. Proemium Mathematicum. 1507. p. 428-429. 35 Savvilii. Lectioacs.

м История полной математической индукции: Francisko Maurolico. Arithmeticae, Libri duo. 1557. Veil. 1577. Jacob Bernoulli. Ars consectandi, изд. 1713. Opera I, 282-283. Pascal. Oeuvres. Paris. 1908. Т. Ill, p. 456. Cantor. Vorlesungen. B. Ill, S. 341. G. Vacca. Surleprinciped'induction math. Revue dc Metli. 1911, p. 30.

Возведение принципа полной математической индукции в определение - см.: Кутюра. Принципы математики.

О сверхлогичности полной математической индукции: Менделеев. Метод математики.

Пуанкарэ. Гипотеза и наука. [В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983.J

Anal. Poster. Lib. I, С. XIX, XXI, XXII, XXIII.

,c Более подробно: Лобачевский и основные логические проблемы в ма-тематике. [См.: наст, изд.] " Первый опыт построения математической системы без аксиомы исключенного третьего. Brouwer. Begrundung derMengelehre unabliangig von logischen Satz von Abgesclilossenen, dritterTlieil. См. мои работы: Sur les syllogismes en logique et hypersyllogismes en Metalogique. Прот. О-ва ест, при С.-Кав. гос. университете Metalogique, Metaalgebre, Прот. О-ва ест. при С.-Кав. гос. университете за 1928 г. До меня понятие металогики было обработано, но только с философской, а не математической стороны, проф. И. Васильевым. (Журнал министерства народного просвещения, 1905).

Метаалгебра.

Ученые записки Научно-исследовательского институ та математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25.

1 Аксиома III, Гильберта (Основания геометрии. М. 1948)

Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой а без общих точек, пусть А'В' и В'С' - два отрезка на другой прямой а' тоже без общих точек. Если при этом АВ = А'В' и ВС = В'С', то всегда также АС = А'С'.

а

1 j 1

Л 13 С

а'

н І 1

Л' 13' с

О числовой характеристике утверждаемого тождества.

Известия Донского университета, 1925, т. 7, с. 40-43.