§10. Логика доказательств в будущем.
"Удивительно, что и теперь еще не все математики осознали, что основная проблема о доказательстве в смысле вывода истинного положения А из системы постулатов, обладающих психологическим свойством очевидности, совершенно того же рода", что задача об интегрировании в конечном виде или построении с помощью циркуля и линейки.
Она может разрешаться, может и не разрешаться, причем в большинстве случаев обычно не разрешается. Постулатов очевидных просто может оказаться недостаточно для вывода.В XVI веке выставлялось требование доказывать, только оперируя существенными свойствами, в XVII - только прямым путем. Это очень интересные проблемы, и опыт показал, что они едва ли разрешимы. В будущем математики к ним вернутся, превратив их в аксиоматические проблемы, формулируя их следующим образом:
Можно ли положение А вывести из постулатов Р,, Р2, Р3... Рл (безразлично, зависимых или независимых), которые не включают определенных объектов а,, а2, а^.а^ и, если возможно, построить этот вывод.
Можно ли положение А вывести из Р,,Р2... Рп, прямым путем и, если возможно, построить этот вывод41.
Проблема о доказательстве с помощью принципа полной математической индукции будет ставиться таким образом:
Возможен ли вывод А из Р,, Р,... Рл, (вообще из очевидных постулатов) 1) с помощью конечного числа силлогизмов? 2) с помощью счетного их множества?
При этом и последняя проблема не всегда явится разрешимой.
Мы определенно предсказываем, что будущей математикой будет вполне осознана невозможность установки связей между всеми истинными положениями. Эта связь будет устанавливаться только в некоторых группах, причем основными, исходными положениями группы вовсе не будут обязательно очевидные положения, что будут скорее просто более простые, легче проверяемые. Но, как и в других случаях, проблема о выражении через элементы определенного класса по основании ее неразрешимости должна эволюци- онировать в другую, более общую проблему, получаемую путем расширения той области элементов, в которой ищется решение.
Изыскание связи между положениями будет пониматься в более широком смысле изыскания связей, определяемых не только формальными законами логики, но и другими формальными законами, аналогичными первым, но уже не имеющими логического смысла, - металогическими, Зачатки такой металогики мы уже имеем в логике трансфинитной, в которой устраняется закон исключенного третьего: кроме А и не-А выступает еще нечто третье, причем это третье мыслится как определенная третья возможность наряду с А и не-А.
Можно построить формальный аппарат такой металогики12, которая так будет относиться к логике, как четырехмерное пространство относится к трехмерном)',
Такие выводы уже ничего не будут содержать из "почему", но правильные результаты, ими получаемые, будут говорить, что и в других слу-чаях аппарат будет говорить: "это так".