§9. Полная математическая индукция.

На что указывает история доказательств?

На то, что приходится все понижать требования, к ним предъявляемые. Сперва желали доказывать не только прямым путем, ио еще и натуральным, понимая это в смысле доказательств "почему", т.е.

Возведение принципа полной36 математической индукции в определение целых чисел совершенно затушевывает его истинное значение, выявляемое его историей37, как логического постулата.

Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат, которым мы должны восполнить систему логических постулатов, чтобы быть в состоянии относительно чисел доказать то, что мы не можем доказать аристотелевской логикой.

Обоснованность такого рода рассуждений, как справедливо заме-чает Пуанкаре38, сводящегося к заключению из бесконечного ряда силлогизмов, могла быть признана только тогда, когда математическая мысль вполне свыклась с бесконечными операциями и установила постулаты, определяющие получение определенных результатов с помощью этих операций.

Это, конечно, не математическая аксиома, относящаяся к свойствам чисел или пространств, но и как логическая аксиома она коренным образом отличается от так называемых логических законов: тождества противоречия и исключенного третьего.

Это, положение того же рода, что аксиома силлогизма, утверждающая истинность заключения при истииности посылок.

U верно. V верно. Из U и V выводится W. W верно, как U и V.

Отсюда вытекает более общего характера положение, которое тоже признается за очевидное. Если из U,, U2, ...

Из этой аксиомы ничего не выводится, она вовсе не включается в систему основных постулатов, а стоит совершенно особняком, санкционируя правила формальной логики, на основании которых совершается вывод.

Античными мыслителями признавались только те выводы, которые в действительности произведены, в которых прослежены все посылки и заключения.

В полной математической индукции узакониваются выводы через бесконечный ряд силлогизмов.

Входящие в этот процесс силлогизмы не осуществляются в дей-ствительности, ибо нельзя произвести бесконечное число силлогизмов, но утверждается, что если U и W можно связать бесконечным рядом силло- гизмов-U , U2, ...Uoo и закон образова ния можно ясно уразуметь, то при истинности U следует признать и истинность W.

При этом в положении: "если U истинно и существуют силлогизмы U,, U2, ...Un, связующие U с W, то W истинно" понятие "существовать" подвергается эволюции.

В глазах античного математика существование не присуще актуальной бесконечности, противоречия которой доказывают ее небытие.

Поэтому такая аксиома для п = оо не только не была бы им призна-на очевидной, но более того - была бы признана совсем ие имеющей смысла, ибо относилась бы к тому, что невозможно.

Аристотель39 вполне определенно говорит, что в положительных доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при восхождении к высшему, ни при нисхождении к низшему понятию. Предполагая бесконечность доказательного пути, мы отвергаем самую возможность доказа-тельства.