МЕТААЛГЕБРА

Метаалгебра ставит целью исследование системы чисто формальных операций, являющихся аналогом той системы, которая лежит в основе арифметики и алгебры. Буквы в ней не имеют определенно выраженного смысла.

Низшая ступень метаалгебры - это формализация внешнего отношения между гиперчислами. На этой степени еще нет пхср а в н е и и я. - Формальный аппарат действует только аналогично гильбертовским аксиомам счета, которые лучше называть постулатами операций.

Эти операции в настоящем случае (в метаалгебре тройственных отношений) трех родов: гиперумножения abc, гиперсложения 1-го рода

abc , гиперсложения 2-го рода abc.

Вот основные постулаты (в которых следует отличать знак тожде-ства = от знака равенствам который вносится только с введением сравнения).

1. Циркулярный закон 1-го рода (1)

abc s bca s cab abc = bca = cab abc s bca = cab (2)

2. Циркулярный закон 2-го рода (abc)de = bcd(ea) эта формула справедлива для двух других действий. 3. Дистрибутивный закон 1-го рода. Этот закон показывает на несимметричность метаалгебры в отношении основных операций. (3) (3)

agh.bgh.cgh = abc.gh agh.bgh.cgh =abc.gh (3)

(4)

agh. bgh. cgh = abc. gh

Дистрибутивный закон 2-го рода

abc. def. ghi = adg. beh. cfi и другие, такие же формулы для гиперсложений.

Ассоциативный закон

[(abc)de]. fg = а. bdf. ceg и такие лее формулы для гиперсложений.

К этим пяти постулатам еще прибавляется постулат.

6. О единственности решений уравнений:

L. xab = A; xab = A; xab = А (6)

§ 6. Формальный аппарат метаалгебры приводится в движение в теории гипердробей, т.е. решений уравнений:

Хаа' = а (7)

которые мы будем означать символом

а

х =

а|а'

Гипердробн, в случае гипереложеиия, отвечают гиперразности 1- го и 2-го рода

а

а|а' ' а)а' Постулат (4) дает формулу умножения гипердробей: a b с abc

(8)

aja' PIP' у|у' apy|a'p'y' Аналогичные формулы получаем и для гиперразностей.

а b с _ (аА|А1)А,|А2 + (ЬВ|В2)В'1В'2-НЪС|С2)С'|С'2

aja'' PIP'' у|у' М|М'

где М (аналогон наименьшего кратного) определяется системой aA, А2=рВ,В2 = уС,С2= М

а'А\А'2= Р'В',В'2= y'C']C'2= M' Выводятся и другие формулы: 1. Аналогон

а

в форме

а|а' р|р'

(ааР)а'Р' Ь|с

_Ь _ «а a b

Формулы сокращения:

а _ m

а|а' eje'

если

а =е|3|3'; а' = е'уу' а = (трР')ТУ'

Формулы для решения гиперуравнения 1-й степени

(xab)cd = b

и более общего:

[(xab)cd] [(xaV)c'd"] [(xa"b")c"d"] = b Наряду с теорией простых гипердробей развивается и теория квадратичных, т.е. решений уравнений ахх з с и т.д.

§ 3. Следующая ступень метаалгебры - формализация отношений сравнения. Здесь прежде всего постулируются свойства гиперравенства.

Циркулярное:

a = b = c-»b = c = a->c = a = b (10)

Транзитивное:

->a = d = g

(П)

а = b = с b = d = е c = f = g

Понятиям "больше" И "меньше" ОТВеЧсЦОТ шесть следующих символов, по три для каждого из двух равенств:

a = b = c< abc < bca * cab с = Ь = а~~Ж_> acb > bac > при этом случае стоящие в одном столбце должны быть совместны, а в различных не совместны.

Аналоген ІІІ3,гильбертовской аксиомы' Из

< abc на = |3 = у; а' = Р'=у' вытекает '

aaa'.bpp'.cyy' Постулируя транзитивность? 11 abc ( bde adg ' cfg

мы выводим, что при

( ару 5< а'РУ

имеем

<— ааа'.ЬРР'.суу'

§ 4. Третья ступень ставит аналогоны аксиом существования, по-стулируя чисто имманентное существование в смысле только полагания,

Аналогоном I, гильбертовской аксиомы являются следующие по-стулаты: уравнение хаа' = а имеет одно определенное решение только при

< / г < I

ааа , а хаа =a при ааа или ааа

Расширение области гиперчисел совершается совершенно так же, как расширение области чисел, и за существующие принимаются только натуральные гиперчисла, тогда как ненатуральные рассматриваются только как символы операций над тройками натуральных гиперчисел.

Доказательства правильности постулатов для ненатуральных ги- иерчисел проводятся совершенно также, как в формальной теории рацио-нальных дробей, в которой операции над обобщенными числами сводятся к операциям над парами натуральных.

Можно, например, определить сумму:

(a.a|a')(b.PIP')(c.y|Y')

как

[ (аРу)Р'у'(ba)y'a'.(cap)a'p'.apy|a'p'y'] и т.д.

§ 5.

При этом постулируется 1) I T_L=1 2) наличность в abc Т без X приводит к т, мы будем это обозначать так ST

4) Til,, 5,TiU.T

abc -L abc ' abc

_LL_I 7)±ігт=| «і T_L~L

abc -x ' abc - 1 ^ abc

Из этих идемпотентов и образуются гиперчисла с помощью гипер-сложений 1-го и 2-го рода, причем можно доказать, что новые гиперчисла получаются только с помощью операций одного рода. § 6. Теория гиперчисел, аналогичная, гроссмановой теории чисел строит-ся, полагая в основе аиалогоны гроссмановскнм аксиомам, например, ана- логон первый:

(a+b)+| =а+(Ь+|)

являются формулы:

abc.|f = a.bc|.f = a.b.cjf (ІЗ)

abc. 11 = a.bc|.| s a.b,c|| ^

abc.TTs a.bcT.T sa.b.cTT ^

и принципом полной индукции: если формулы

верны для | и будут верны для а, верны для а||,то верны для всех а, полученных сложением 1-го рода.

верны для | и будут верны для а, верны ДЛИ , то верны для всех а, построенных сложением 2-го рода.

верна для Т и будучи верна для а будет верна для а ТТ то будет верна для всех й, полученных сложением 2-го рода.

"Укажем переход от частного случая ассоциативности к общему. То, что формула, верная для у

abc.y|=a. bey .lsa.b .су 1 будет верна и для у||, это выясняется цепыо тождеств

аЬс.у||.1=аЬс.у. 1.||з a.bcy l.|( = a.bc.y||.l А то, что и второй идемпотент можно заменить каким угодно ги-перчислом 8, выяснено тождествами:

abc.y.S|| sb. bcy.5.j|= a.bcy.5.||s а. Ьсу. б|| Литература:

Hilbert. Grundlagen der Geometrie.

Hermann Grassmann. Lehrbuch der Arithmclik, Berlin, 1861,

Васильев. Введение в анализ, т, I.

(Доложено на заседании Совета Института 22 марта 1936 г. )