МЕТААЛГЕБРА
Метаалгебра ставит целью исследование системы чисто формальных операций, являющихся аналогом той системы, которая лежит в основе арифметики и алгебры. Буквы в ней не имеют определенно выраженного смысла.
Эти буквы, называемые нами гиперчислами, определяются чисто внешним образом с помощью постулатов, относящихся к формальным операциям над ними, вполне соответствующим операциям над числами.Низшая ступень метаалгебры - это формализация внешнего отношения между гиперчислами. На этой степени еще нет пхср а в н е и и я. - Формальный аппарат действует только аналогично гильбертовским аксиомам счета, которые лучше называть постулатами операций.
Эти операции в настоящем случае (в метаалгебре тройственных отношений) трех родов: гиперумножения abc, гиперсложения 1-го рода
abc , гиперсложения 2-го рода abc.
Вот основные постулаты (в которых следует отличать знак тожде-ства = от знака равенствам который вносится только с введением сравнения).
1. Циркулярный закон 1-го рода (1)
abc s bca s cab abc = bca = cab abc s bca = cab (2)
2. Циркулярный закон 2-го рода (abc)de = bcd(ea) эта формула справедлива для двух других действий. 3. Дистрибутивный закон 1-го рода. Этот закон показывает на несимметричность метаалгебры в отношении основных операций. (3) (3)
agh.bgh.cgh = abc.gh agh.bgh.cgh =abc.gh (3)
(4)
agh. bgh. cgh = abc. gh
Дистрибутивный закон 2-го рода
abc. def. ghi = adg. beh. cfi и другие, такие же формулы для гиперсложений.
Ассоциативный закон
[(abc)de]. fg = а. bdf. ceg и такие лее формулы для гиперсложений.
К этим пяти постулатам еще прибавляется постулат.
6. О единственности решений уравнений:
L. xab = A; xab = A; xab = А (6)
§ 6. Формальный аппарат метаалгебры приводится в движение в теории гипердробей, т.е. решений уравнений:
Хаа' = а (7)
которые мы будем означать символом
а
х =
а|а'
Гипердробн, в случае гипереложеиия, отвечают гиперразности 1- го и 2-го рода
а
а|а' ' а)а' Постулат (4) дает формулу умножения гипердробей: a b с abc
(8)
aja' PIP' у|у' apy|a'p'y' Аналогичные формулы получаем и для гиперразностей.
Дистрибутивный закон дает общую формулу сложения гипердробей (а такясе ум-ножения гипперразностей и т.д)а b с _ (аА|А1)А,|А2 + (ЬВ|В2)В'1В'2-НЪС|С2)С'|С'2
aja'' PIP'' у|у' М|М'
где М (аналогон наименьшего кратного) определяется системой aA, А2=рВ,В2 = уС,С2= М
а'А\А'2= Р'В',В'2= y'C']C'2= M' Выводятся и другие формулы: 1. Аналогон
а
в форме
а|а' р|р'
(ааР)а'Р' Ь|с
_Ь _ «а a b
Формулы сокращения:
а _ m
а|а' eje'
если
а =е|3|3'; а' = е'уу' а = (трР')ТУ'
Формулы для решения гиперуравнения 1-й степени
(xab)cd = b
и более общего:
[(xab)cd] [(xaV)c'd"] [(xa"b")c"d"] = b Наряду с теорией простых гипердробей развивается и теория квадратичных, т.е. решений уравнений ахх з с и т.д.
§ 3. Следующая ступень метаалгебры - формализация отношений сравнения. Здесь прежде всего постулируются свойства гиперравенства.
Циркулярное:
a = b = c-»b = c = a->c = a = b (10)
Транзитивное:
->a = d = g
(П)
а = b = с b = d = е c = f = g
Понятиям "больше" И "меньше" ОТВеЧсЦОТ шесть следующих символов, по три для каждого из двух равенств:
a = b = c< abc < bca * cab с = Ь = а~~Ж_> acb > bac > при этом случае стоящие в одном столбце должны быть совместны, а в различных не совместны.
Аналоген ІІІ3,гильбертовской аксиомы' Из
< abc на = |3 = у; а' = Р'=у' вытекает '
aaa'.bpp'.cyy' Постулируя транзитивность? 11 abc ( bde adg ' cfg
мы выводим, что при
( ару 5< а'РУ
имеем
<— ааа'.ЬРР'.суу'
§ 4. Третья ступень ставит аналогоны аксиом существования, по-стулируя чисто имманентное существование в смысле только полагания,
Аналогоном I, гильбертовской аксиомы являются следующие по-стулаты: уравнение хаа' = а имеет одно определенное решение только при
< / г < I
ааа , а хаа =a при ааа или ааа
Расширение области гиперчисел совершается совершенно так же, как расширение области чисел, и за существующие принимаются только натуральные гиперчисла, тогда как ненатуральные рассматриваются только как символы операций над тройками натуральных гиперчисел.
Доказательства правильности постулатов для ненатуральных ги- иерчисел проводятся совершенно также, как в формальной теории рацио-нальных дробей, в которой операции над обобщенными числами сводятся к операциям над парами натуральных.
Можно, например, определить сумму:
(a.a|a')(b.PIP')(c.y|Y')
как
[ (аРу)Р'у'(ba)y'a'.(cap)a'p'.apy|a'p'y'] и т.д.
§ 5.
Выше этой ступени подымаемся, устанавливая процесс образования гиперчисел из трех идемпотентов I T_L отвечающих 1,0.При этом постулируется 1) I T_L=1 2) наличность в abc Т без X приводит к т, мы будем это обозначать так ST
4) Til,, 5,TiU.T
abc -L abc ' abc
_LL_I 7)±ігт=| «і T_L~L
abc -x ' abc - 1 ^ abc
Из этих идемпотентов и образуются гиперчисла с помощью гипер-сложений 1-го и 2-го рода, причем можно доказать, что новые гиперчисла получаются только с помощью операций одного рода. § 6. Теория гиперчисел, аналогичная, гроссмановой теории чисел строит-ся, полагая в основе аиалогоны гроссмановскнм аксиомам, например, ана- логон первый:
(a+b)+| =а+(Ь+|)
являются формулы:
abc.|f = a.bc|.f = a.b.cjf (ІЗ)
abc. 11 = a.bc|.| s a.b,c|| ^
abc.TTs a.bcT.T sa.b.cTT ^
и принципом полной индукции: если формулы
верны для | и будут верны для а, верны для а||,то верны для всех а, полученных сложением 1-го рода.
верны для | и будут верны для а, верны ДЛИ , то верны для всех а, построенных сложением 2-го рода.
верна для Т и будучи верна для а будет верна для а ТТ то будет верна для всех й, полученных сложением 2-го рода.
"Укажем переход от частного случая ассоциативности к общему. То, что формула, верная для у
abc.y|=a. bey .lsa.b .су 1 будет верна и для у||, это выясняется цепыо тождеств
аЬс.у||.1=аЬс.у. 1.||з a.bcy l.|( = a.bc.y||.l А то, что и второй идемпотент можно заменить каким угодно ги-перчислом 8, выяснено тождествами:
abc.y.S|| sb. bcy.5.j|= a.bcy.5.||s а. Ьсу. б|| Литература:
Hilbert. Grundlagen der Geometrie.
Hermann Grassmann. Lehrbuch der Arithmclik, Berlin, 1861,
Васильев. Введение в анализ, т, I.
(Доложено на заседании Совета Института 22 марта 1936 г. )