О ЧИСЛОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ УТВЕРЖДАЕМОГО ТОЖДЕСТВА.

§ 1. Астроном, определяя эфемериды кометы А и находя элементы движе-ния ее очень близкими к элементам одной из раньше наблюдаемых комет В, заключает отсюда о тождестве А и В.

Это и аналогичные, весьма важные в астрономии, заключения, подводятся под следующую общую схему:

При каждом из наблюдений наблюдается объект некоторого оп-ределенного класса Q: А ^ с признаками а, Ь, с...

Значения же этих признаков нам точно неизвестны. Когда мы приписываем а для А'-"значение а®, то а может иметь значение ряда:

a[j),a«....a(j) (а)

и когда мы приписываем b значение Ь® то b может иметь значение

bfj)bвообщее значения

е«,е<-»> е? (е)

Вместе с Ай наблюдается иА!о), для которого а придается значение а(о) тоже не точно, так что возможны все значения ряда

а<°>, а<°\...я<0> (а(о))

b....b[0),bf.... b<0) (b(c)) е....е[0),е<0)....е^ (е(0))

Заключается тождество:

А(п) = А03

От этого случая дискретных конечных совокупностей значений а, Ь, с ... е можно перейти к случаю непрерывных областей значений, что н имеет место в приведенном выше примере отождествления двух комет, так как элементы движения кометы определены не точно и поэтому возможны не только те значения, которые находятся в эфемеридах, но и близкие к ним.

Какой же числовой характеристикой охарактеризовать такое ут-верждение?

Бесспорно, что такое утверждение при различных обстоятельствах будет иметь различную цену.

А именно, если около а(о), Ь(о), . . с(о) имеет место сгущение значения а, Ь, с ... с для различных А®, то ценность будет меньше, чем в том случае, когда имеет место разрежение, в особенности, когда близкими к а(о), Ь(о).. . с(о) значениями а, Ь, с... е являются только а®, Ь®. .. с®.

Принципы исчисления вероятностей ие дают здесь определенной числовой характеристики.

Для исчисления вероятности такого тождества мы не имеем достаточно данных, невозможен подсчет благоприятных случаев.

^ независимо от вышеупомянутых обстоятельств, влияющих на оценку утверждаемых тождеств.

§ 2. Следует начинать с самого простого случая, так как при нем новые, не находящиеся в теории вероятностей постулаты представляются более убедительными и открывают в других, более сложных случаях путь ана-логий.

Берем случай только одного признака а.

Предполагаем высшую степень разрежения - полное отсутст-вие совпадающих значений а для А00 и А® .

Чем больше совпадающих значений признаков А(о) и А(1>, тем утверждение имеет больше цены.

Совершенно таким же образом, как в теории вероятностей из оче-видного положения о возрастании вероятности вместе с числом благоприятных случаев, делается переход к математической мере вероятности гак отношению числа благоприятных случаев к числу единственно возможных, так и в настоящем случае мы от упомянутого выше очевидного аналогійного положению о вероятности, переходим к математической характеристике положения о тождестве, как отношения числа совпадающих возможных значений а, в А(о> и А(1> к числу всех воз-можных:

п = С (1)

п

С это высшая мера оценки. Для различных классов она различ-на. Совпадение признаков не есть еще доказательство безусловной тож-дественности носителей этих признаков.

При этом постулируется равноценность совпадения возмож-ных значений а совершенно так же, как при установке меры вероятности постулируется равиовозможность случаев.

Но такая равноценность не может быть признана, если значення а ие равноверо51тны. Цена больше, если вероятность больше.

Эта вторая оценка численно определяется вероятностью р® для исчисляемых в знаменателе (1) значений а для А®. Но для значений А®, совпадающих с А^

„ (°j) „ (oj) „ (°Й а 1. а 2, ••• Л „<°>

оценку следует производить иначе.

Как признак А® они получают определенную оценку Р (gJ) (веро-ятность a как а®) как признак А<0) ...я (вероятность а*0), как а<0>).

„ „ (оі) ^ (oj)

Полная оценка определится числом Р g 71 g .

En (oj) 7Г{ЧІ)

ЕрU) (2)

§ 3. В том случае, когда а® может принимать всевозможные значения в промежутке a(j'n) +a...a(ja) -1-а, где a^ выводится из наблюдений значе-ний а®, а ай°' значение a(jo> -a...aUu) +а, то, обозначая через со = С J_+; ф (aПринимая же закон ошибок Гаусса

..c-Lj.-^^V-M.-^*"'-''

¦Jn <о v ті ю

где а=2, |3=-(a01 + a(io>),y =afj)i +ajo>2 Полагая ? 4- k=ті, о?,=л\ имеем

J=Lc 1 ld^=Le 1 ldii

если положить к=—-, у'=ак2 + 2(3к +у =—Д = ау -132 а а

іі __

л — 2 t — *I

J = c .Jjf-idrp—^

или

® = C-j=e ' 1 (4)

Такова числовая оценка утверждения-.

A(0,sA(j)

§ 4. Перейдем теперь к более сложному случаю совпадающих значений признаю а для А® и А®.

Число совпадающих значений а следует сравнивать не с п® значе-ниями А®, но с числом большим, так как совпадение значения а для А(°> со значением а, совпадающим для А® и А00, является показателем воз-можности не только А(о) з Аи , но и А(о) = Aw.

Мы постулируем, что цена утверждения а'0' = a'j' не меняется,

если значение признака а для. А[к|, совпадающего с А11' заменить тем же числом новых значений а для Аш.

На основании этого постулат в (') следует заменить а® через

n п , гдеп(ік> число совпадающих признаков Aft) и А®. Формула (2) заменяется следующей

(5) которая в случае непрерывной области будет

(6)

со = С^

I+J+%p(atjk)

а при законе ошибок Гаусса:

і її1

h (0cj)_atj<»)'

-i= e 2 " " p ^

Q) = С

h -—<„«>-„ о») f (7)

1 + ?-т= e 2 " " ijn

Когда имеется много объектов с совпадающими признаками (сильное сгущение) и разность _а® - а(і+ " колеблется около X {равномер- rtoe сгущение), то получаем из (7) приближенную формулу, заменяя суммы в знаменателе (7) интегралами

h л

П f+a, -— df = — , 1,2

-р е ! * h -^s1 С 8 = в0)-а0°)

Vn J"e m=-j=e 2

Vtt

1

так как со мало, —велико в сравнении с 1. Взяв C=4l% имеем:

a=hXcT (8)

§ 5. Случай нескольких признаков сводится к рассмотренному случаю одного признака, а именно всю совокупность (а, Ь, с ... е) можно мыслить, как один признак, охарактеризованный несколькими числами.

Число возможных систем значений равно произведению чисел значений этих признаков.

На этом основании, обозначая признаки через ag, а их значение через a® g можем обобщить формулу (1) так:

0>=cnV:jv;j) (9)

в

Где П распространяется иа все признаки. Таким же образом, обобщением формул (5) и (б) является ІР?«(?

(10)

,=СП—

к (П)

ю^СП-^г и приближенно форм (№ 8)

-—в>=1і,1і2-Ь3Л h2h3e 2 (j2)