<<
>>

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в сжатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математические ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:

n

M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn = ∑ xipi (10)

i=1

Для непрерывных случайных величин с плотностью распределения f(x) математическое ожидание равно определённому интегралу:

b

M(X) = ∫ x ∙ f(x)dx, (11)

a

где a и b пределы интегрирования, которые соответствуют крайним границам возможных значений Х.

-∞

Свойства математического ожидания

- Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

M(C) = C

- Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. M (CX) = CM (X)

- Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равна алгебраической сумме их математических ожиданий: M (X ± Y) = M(X) ± M(Y)

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если распределение одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

- M(X ∙ Y) = M(X) ∙ M(Y)

-

- Математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания всегда равно нулю:

- M(X – M(X)) = 0

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания М (Х) называют дисперсией случайной величины Х и обозначают D(X), т.е.

D(X) = M(X – M(X))2 (12)

Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания.

Для непрерывных случайных величин с плотностью вероятности f(x):

D(X) = ∫ (x – M(X))2 f(x) dx (13)

-∞

Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представлять о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания.

σ (сигма) = √D(X) (14)

Основные свойства дисперсии:

- Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

D(X ± Y) = D(X) ± D(Y)

- Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е.

D(C)=0.

- Постоянный множитель С случайной величины Х можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат, т.е.

D(CX) = C2 D(X)

- Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания, т.е.

D(X) = M(X2) – [M(X)]2 (15)

<< | >>
Источник: Лабгаева Эмма Владимировна. Методические указания для студентов по проведению практических занятий по дисциплине «Математика». 2007

Еще по теме Числовые характеристики случайных величин:

  1. Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика
  2. 1.2. Числовые характеристики случайных величин
  3. 1 .4. Основные законы распределения случайных величин
  4. Моделирование случайных величин.
  5. Числовые характеристики дискретной случайной величины
  6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
  7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
  8. 8.Практическое занятие №8 « Нахождение вероятности событий, функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»
  9. Числовые характеристики случайных величин
  10. §10. Дискретные случайные величины и их характеристики
  11. Числовые характеристики случайных величин
  12. Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
  13. Числовые характеристики случайных величин
  14. 3.4. Числовые характеристики случайных величин.
  15. 5.1. Понятие о системе случайных величин.
  16. 5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
  17. 5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.