<<
>>

6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.

Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Y есть функция нескольких случайных величин ;

(6.7.1)

Пусть нам известен закон распределения системы аргументов ; требуется найти числовые характеристики вели­чины Y, в первую очередь—математическое ожидание и дисперсию.

Представим себе, что нам удалось найти закон распределения g(у) величины Y. Тогда задача об определении числовых характеристик становится простой; они находятся по формулам:

(6.7.2)
(6.7.3)

Однако задача нахождения закона распределения g(y) ве­личины Y часто оказывается довольно сложной. Для решения поставленной задачи нахождение закона распределения величины Y не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины Y, нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов .

Таким образом, возникает задача определения числовых характе­ристик функций случайных величин, не определяя законов распре­деления этих функций.

Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функ­ции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая — функции одного аргумента.

Имеется случайная величина X с заданным законом распределе­ния; другая случайная величина Y связана с X функциональной за­висимостью: Y= (Х).

Требуется, не находя закона распределения величины Y, опреде­лить ее математическое ожидание:

(6.7.4)

Рассмотрим сначала случай, когда X есть дискретная случайная величина с рядом распределения:

Табл. 6.7.1

xi X1 x2 xn
pi P1 p2 pn

Запишем в виде таблицы возможные значения величины Y и вероятности этих значений:

Табл. 6.7.2

( xi) ( x1) ( x2) ( xn)
pi P1 P2 pn

Таблица 6.7.2 не является рядом распре­деления величины Y, так как в общем случае некоторые из значений

(6.7.5)

могут совпадать между собой. Для того чтобы от таблицы (6.7.1) перейти к подлинному ряду распределения величины Y, нужно было бы расположить значения (6.7.5) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствую­щие равным между собой значениям Y, и сложить соответствующие вероятности. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле

(6.7.6)

Очевидно, величина ту — М((Х)), определяемая по формуле (6.7.6), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.

В формуле (6.7.6) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента.

Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции, а доста­точно знать закон распределения аргумента.

Заменяя в формуле (6.7.6) сумму интегралом, а вероятность рi— элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерыв­ной случайной величины:

(6.7.7)

где f(x) — плотность распределения величины X.

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции у(Х,Y) от двух случайных аргументов X и Y. Для дискретных величин

(6.7.8)

где — вероятность того, что система (X,Y) примет значения (xi yj). Для непрерывных величин

(6.7.9)

где f(x, у) — плотность распределения системы (X, Y).

Аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:

(6.7.10)

где — плотность распределения системы .

Формулы типа (6.7.10) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.

Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распреде­ления функции.

Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции — моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогич­ными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой

(6.7.11)

где т=М[(x)] — математическое ожидание функции (X); f(х) — плотность распределения величины X.

Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных аргументов:

(6.7.12)

где — математическое ожидание функции (Х,Y); f(x,у) — плотность распределения системы (X,Y). Наконец, в случае произвольного числа случайных аргументов, в аналогичных обозначениях:

(6.7.13)

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.:

  1. Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика
  2. 1.2. Числовые характеристики случайных величин
  3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
  4. Свойства математического ожидания случайной величины
  5. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
  6. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
  7. 8.Практическое занятие №8 « Нахождение вероятности событий, функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»
  8. Числовые характеристики случайных величин
  9. §10. Дискретные случайные величины и их характеристики
  10. Числовые характеристики случайных величин
  11. Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
  12. Числовые характеристики случайных величин
  13. Содержание